Когда равносилен переход lim(exp f(x))=exp(lim f(x)) ?

[mr.tumkan2015]

Когда равносилен переход $\lim e^{f(x)}=e^{\lim f(x)}$?

Достаточно ли при решении задач просто написать $\lim e^{f(x)}=e^{\lim f(x)}$ ?

[2old]

$\exp$ непрерывная и инъективная, так что вроде всегда

[gefest_md]

Думаю, что предел $\lim f(x)$ должен быть конечным. Допустим, что так можно. Например: $\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}}=e^{\infty}.$ И как теперь посчитать $e^\infty$? Или по этому поводу уже договорились?

[VanD]

gefest_md в сообщении #1081763 писал(а):

Или по этому поводу уже договорились?

В определении предела, когда просили, чтобы предел был действительным числом.

[arseniiv]

Бесконечные пределы ведь можно понимать как обычные пределы на $\overline{\mathbb R}$ или $\mathrm P\mathbb R^1$, и тогда в первом случае нет двустороннего предела $\lim\limits_{x\to0}\frac1x$, и подставлять нечего, а во втором случае у экспоненты в $\infty = \lim\limits_{x\to0}\frac1x$ нарушается упомянутая 2old непрерывность, до которой её доопределить в $\infty$ никак не выйдет, потому что нет предела, в отличие от $\pm\infty$ в $\overline{\mathbb R}$.

-- Вс дек 13, 2015 05:13:13 --

(Ерунды не написал?)

[iifat]

gefest_md в сообщении #1081763 писал(а):

И как теперь посчитать $e^\infty$?

Это бы полбеды. Лень досконально вспоминать определение бесконечного предела, но, как понимаю, беда в том, что предела $\frac1x$ не существует: $\lim_{x\to+0}\frac1x=+\infty$; $\lim_{x\to-0}\frac1x=-\infty$.
Ну, а в общем случае, как понимаю, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, если $f(x)$ непрерывно в $a$. Бесконечности могут дфть странные эффекты, конечно.

-- 13.12.2015, 10:18 --

arseniiv в сообщении #1081770 писал(а):

Бесконечные пределы ведь можно понимать как обычные пределы на $\overline{\mathbb R}$ или $\mathrm P\mathbb R^1$

Подозреваю, для осмысленной работы с пределами мало добавить одну или две бесконечности. Надо научиться их делить, складывать, умножать... Что-то типа нестандартного анализа. Например, нестандартный анализ

[Someone]

iifat в сообщении #1081772 писал(а):

Подозреваю, для осмысленной работы с пределами мало добавить одну или две бесконечности. Надо научиться их делить, складывать, умножать...

Надо рассмотреть свойства пределов в таких ситуациях: когда результат однозначен, то можно, а когда не однозначен — нельзя.

iifat в сообщении #1081772 писал(а):

Что-то типа нестандартного анализа. Например, нестандартный анализ

Никакого отношения не имеет.

[mr.tumkan2015]

Спасибо, а какая может возникнуть ситуация, в которой нельзя пользоваться таким переходом? (то есть когда на все "однозначно")?

[arseniiv]

Например, неопределённость $\frac{\infty}{\infty}$.