Вопрос к специалистам по ОТО: может ли двигаться Черная Дыра

[Soshnikov_Serg]

Уважаемые Дамы и Господа!

Помогите решить одну проблему.
Метрику для Черной дыры Шварцшильда, расположенной в произвольной точке пространства с координатами (Xo,Yo,Zo) в декартовых координатах можно записать в виде:
ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2-r_g(\frac{c^2dt^2}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}+\frac{(d\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2})^2}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}-r_g})
А можно ли нарисовать метрику для движущейся Черной дыры?
Ну хотя бы прямолинейно и равномерно?
Перелистал кучу книжек по ОТО - ничего подобного не нашел. Все почему-то предпочитают рассматривать движение "вокруг да около" ЧД, а саму ее не "двигают". Попробовал сам линейные преобразования поиспользовать. Тоже пока ума не хватило...
Помогите пожалуйста!!!

[Soshnikov_Serg]

1001 извинение, Дамы и Господа.
Первоначально формула была написана с ошибкой. Исправил. Но вопроса это не отменяет.

[Pulsar!]

Эээмм.. Чем черная дыра кардинально отличается от других обьектов, что не позволяет ей двигаться ?

[Soshnikov_Serg]

Pulsar! писал(а):

Чем черная дыра кардинально отличается от других обьектов?

Ну, наверно, наличием горизонта событий и сингулярностью... Хотя, наверно, дело и не в этом. Когда рассматривают движение некоторого тела близи ЧД - просто решаются уравнения движения уже на заданной метрике (этой черной дырой), полагая, что сами движ. объекты существенного влияния на метрику не оказывают. Отличие бы исчезло, если бы удалось "увидеть", как сама метрика пространства-времени меняется при движении объектов, т.е. по сути следует решать ур-я Эйнштейна в рамках задачи двух (или более) тел.

Pulsar! писал(а):

что не позволяет ей двигаться ?

Если исходить из чисто теоретических соображений, то пока - возможность описать это движение с помощью метрики.

[Zai]

Soshnikov_Serg писал(а):

можно ли нарисовать метрику для движущейся Черной дыры?

В динамике жидкости есть решение о источнике в поле равномерного движения жидкости( посмотрите например Бэтчелора). Решение задачи о стоке в поле равномерного движения жидкости не сильно изменит картину течения. Только в узкой полосе постоянной ширины жидкость будет втекать в Ваш сток. Прочая жидкость будет обтекать это течение как твердое тело. В Бэтчелоре также показано, что при потенциальном обтекании для данного тела справедлив парадокс Даламбера, то есть на объект источника не действует сила.

[Soshnikov_Serg]

Для Zai !!!

Так на вскидку пока не оценил. Вы уверены, что это по данной теме?

Пока не нашел книжку в Инете. На всякий случай посмотрю обязательно. Спасибо.

[photon]

Soshnikov_Serg писал(а):

Пока не нашел книжку в Инете.

Вот она

[Soshnikov_Serg]

Zai писал(а):

решение о источнике в поле равномерного движения жидкости( посмотрите например Бэтчелора)

Спасибо. Нашел книжку. Толстая...
Я так подозреваю, Вы имели в виду, что по моим представлениям источник или сток в равномерном потоке идеальной несжимаемой жидкости должны двигаться с ускорением.
Тут уж извините за навязчивость. У Бэтчелора, где говориться об источниках и стоках (парагр. 2.5), нет задачи об их движении. Там же, гда говориться о парадоксах Даламбера (п.п. 5.11, п.п.6.4), там не нашел ничего про источники и стоки.

Можете уточнить размещение решения задачи? Или другой источник?

Нашел у Кочина-Кибеля-Розе в Теоретической гидромеханике метод источников и стоков. Но там - диполи.

[Zai]

Soshnikov_Serg писал(а):

по моим представлениям источник или сток в равномерном потоке идеальной несжимаемой жидкости должны двигаться с ускорением.

В равномерном потоке на источник не действует силы. Только в расходящемся потоке на источник или сток будет действовать сила.
Бэтчелор, стр. 566-.., параграфы "Тела, образуемые источниками на оси симметрии", "Полубесконечные тела"

[Soshnikov_Serg]

Спасибо большое!

[Soshnikov_Serg]

Zai писал(а):

Только в расходящемся потоке на источник или сток будет действовать сила.

Ну, в расходящемся, я подозреваю, на что угодно будет действовать.

Zai писал(а):

В равномерном потоке на источник не действует силы.

Бэтчелор, стр. 569.
Очень интересная формула. Подынтегральное выражение (без дополнительных множителей - синусов,косинусов) имеет вид:
$P_0+\frac{\rho U^2}{2}-\frac{\rho}{2}(u^2+v^2)$
Здесь - U - скорость потока, u - скорость истечения из источника вдоль потока (пусть это будет ось Z), v - перпендикулярно ему. Получается, что на границе окружающей поверхности мы просто складываем отдельные кинетические энергии. Что-то мне подсказывает, что для точечного источника, помещенного в поток, должно быть следующее выражение:
$P_0+\frac{\rho (U+u)^2}{2}+\frac{\rho v^2}{2}$
Потенциал для двух течений разве на будет иметь вид в цилиндрических координатах?
$\varphi=z*const+\frac{m}{\sqrt{r^2+z^2}}$
Ищем градиент скорости и ...
давление с разных сторон (оси Z) - разное. Разве нет?

[Zai]

Soshnikov_Serg писал(а):

$P_0+\frac{\rho U^2}{2}-\frac{\rho}{2}(u^2+v^2)$
Здесь - U - скорость потока, u - скорость истечения из источника вдоль потока (пусть это будет ось Z), v - перпендикулярно ему. Получается, что на границе окружающей поверхности мы просто складываем отдельные кинетические энергии. Что-то мне подсказывает, что для точечного источника, помещенного в поток, должно быть следующее выражение:
$P_0+\frac{\rho (U+u)^2}{2}+\frac{\rho v^2}{2}$

У нас на бесконечности полное давление
$P_0+\frac{\rho U^2}{2}$

В точеах вблизи источника статическое давление будет
$P_0+\frac{\rho U^2}{2}-\frac{\rho}{2}(u^2+v^2)$

Ваша последняя формула не совсем понятна. Если Вы собираетесь осуществить переход в неподвижную систему координат, то правило Бернулли для трубки тока не работает и давление в точках нужно считать по другим формулам.

Потенциал Вы записали правильно. Сила со стороны жидкости на тело определяется как интерал статического давления по некоторой поверхности в жидкости плюс интеграл потока количества движения, что и сделано Бэтчелором.

[Soshnikov_Serg]

Zai писал(а):

Ваша последняя формула не совсем понятна.

Большое Спасибо. Нужно подумать. Пока возьму таймаут...

[Soshnikov_Serg]

Zai писал(а):

Потенциал Вы записали правильно. Сила со стороны жидкости на тело определяется как интерал статического давления по некоторой поверхности в жидкости плюс интеграл потока количества движения, что и сделано Бэтчелором.

У Бэтчелора все-таки моделируется полубесконечное тело, поэтому у него исходно пара источник-сток разнесены, линии тока становятся параллельны оси симметрии. Я просто хотел показать свой вариант решения и попросить Вас посмотреть, что же я все-таки не учитываю.
Итак, пусть поток направлен против оси Z, источник расположен в центре - (0,0,0).
Потенциал для двух течений имеет вид:
$\varphi =-Uz-\frac{m}{4\pi \sqrt{r^2+z^2}}$
Соответственно скорости
$V_z=-U+\frac{m cos\theta}{4\pi (r^2+z^2)}$
$V_r=\frac{m sin\theta}{4\pi (r^2+z^2)}$
Элемент силы ищем в виде:
$dF=cos\theta P 2\pi(r^2+z^2) sin\theta d\theta$
где $P=P_0+\frac{\rho V_r^2}{2}+\frac{\rho V_z^2}{2}=P_0+\frac{\rho U^2}{2}+\frac{\rho m^2}{32\pi^2(r^2+z^2)^2}-\frac{\rho mUcos\theta}{4\pi(r^2+z^2)}$
В качестве поверхности выбираем сферу произвольного радиуса вокруг источника. При интегрировании по $\theta$ от 0 до $\pi$ первые три слагаемые дают 0, а четвертое приводит к выражению:
$F=-\frac34\rho mU$
Ну вроде как все.
Что же касается интеграла потока количества движения, по-моему, он просто обращается в ноль.

[Zai]

В формуле для давления Вы допустили опечатку. В точках где очень большая скорость статическое давление меньше, чем давление на бесконечности. Теорема Бернулли для безвихревого движения говорит о постоянстве суммы статического давления и скоростного напора. (стр. 205-... Бэтчелора)
Ваш отказ от интегрирования количества движения неправомерен. В авиационном реактивном двигателе воздух засасывается с малой скоростью, а выбрасывается с очень большой и это создает силу.
Интегралы на опечатки я не проверял, впрочем ответ о ненулевой силе на источнике расходится с Бэтчелором. Я Вам уже сообщал, что сила должна быть нулевой. Напишите об этом в Journal of Fluid Mechanics
http://en.wikipedia.org/wiki/George_Batchelor
George Keith Batchelor (March 8, 1920 - March 30, 2000) was an Australian applied mathematician and fluid dynamicist. He was for many years the Professor of Applied Mathematics in the University of Cambridge, and was founding head of the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics (DAMTP). In 1956 he founded the influential Journal of Fluid Mechanics which he edited for some forty years.