Ландау Механика Вопросы по тому 1

[anadeia]

Добрый день.
Начав читать книгу, появились следующие вопросы:
1) Параграф 1 "Обобщенные координаты". "Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение". Вопрос: что подразумевает под собой такой опыт, как он ставится? то есть цель его понятна - показать предсказание положения системы задав обобщенные координаты и скорости. А как он ставится?
2) Параграф 2 "Принцип наименьшего действия", сноска 2) : Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траектории может оказаться, что интеграл (2.1) имеет лишь экстремальное значение. Вопрос: не могли бы Вы привести пример? Не вдаваясь в подробности, понятно, что этот принцип формулирует движение по кратчайшей траектории, и даже если на каждом отдельном участке траектории у нас минимум, то как получается, что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?
Заранее благодарен за ответы.

[DimaM]

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):

Вопрос: что подразумевает под собой такой опыт, как он ставится

Опыт тут не в смысле experiment, а в смысле experience. Такое вот многозначное слово .

-- 11.12.2015, 19:41 --

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):

Начав читать книгу, появились следующие вопросы

"Проезжая мимо станции, с меня слетела шляпа."

[Sicker]

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):

Не вдаваясь в подробности, понятно, что этот принцип формулирует движение по кратчайшей траектории, и даже если на каждом отдельном участке траектории у нас минимум, то как получается, что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?

Например, геодезическая шара.
И мы ищем экстремаль функционала, а не минималь.
-- 11.12.2015, 16:46 --

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):

что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?

Не только максимум, но и седловая точка.

[Munin]

Если не по-английски, то "как показывает опыт" означает "как показывают все механические опыты, которые были проведены человечеством". (В области классической механики.) Такое вот использование слова в обобщающем смысле. "Мы знаем, что взятие производной - лёгкая задача" - речь не о конкретной производной от конкретной функции, а о производной вообще.

На самом деле, теорфизика даже не имеет дела напрямую с опытами. Иерархия примерно такая:
- экспериментаторы ставят опыты;
- из этих опытов выводятся довольно простые и частные законы, с небольшой степенью обобщения;
- а из этих законов уже выводятся более общие и абстрактные законы, часто - довольно сложные математически.
Вот ими-то теорфизика и занимается.

В данном случае, например, можно опираться на 2-й закон Ньютона, как он был изучен в школе и на первом курсе вуза, и на опыты, которые его демонстрируют: разнообразные движения тел, в разных условиях, под действием разных сил. Этот закон Ньютона гласит, что движение тела можно найти как решение дифференциального уравнения типа $\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},\textit{положения и скорости остальных тел}).$ А отсюда следует, что состояние описывается как раз положениями и скоростями - их достаточно.

-- 11.12.2015 16:59:06 --

Sicker в сообщении #1081404 писал(а):

Например, геодезическая шара.

Это, конечно, пример экстремального принципа, но не принципа наименьшего действия.

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):

Вопрос: не могли бы Вы привести пример? Не вдаваясь в подробности, понятно, что этот принцип формулирует движение по кратчайшей траектории, и даже если на каждом отдельном участке траектории у нас минимум, то как получается, что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?

Приведённый Sicker-ом геометрический (а не механический) пример позволяет понять суть проблемы: если продолжать экстремаль достаточно далеко, то она может пройти через точку фокуса, за которой минимум превращается, например, в максимум.

Если нужен механический пример, то можно взять обычный пружинный маятник (теоретики говорят, гармонический осциллятор) $L=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\tfrac{1}{2}kx.$ Для коротких промежутков времени всё будет нормально, но если вы возьмёте промежуток времени, равный периоду колебаний $T=2\pi\sqrt{k/m},$ или больше, то максимальность "сломается".

[anadeia]

Munin в сообщении #1081408 писал(а):

Если не по-английски, то "как показывает опыт" означает "как показывают все механические опыты, которые были проведены человечеством". (В области классической механики.)

Ну,я так и подумал, что этот опыт, если был экспериментом, носил бы характер "от противного", скажем так. Тогда все вставки "в принципе" говорят о том, что может и произойти, хотя и с совсем малой вероятностью, исключающее событие.
Благодарю за ответы. Читаю дальше. Надеюсь в остальных вопросах показаться не совсем глупым.

[Munin]

Слова "опыт" и "эксперимент" - синонимы. Дело не в различии между этими словами, а в различии между общим и частным смыслом слова. "Человек - двуногое животное" и "я вижу человека с двумя ногами" - разные смыслы.

Эксперименты "от противного", на самом деле, есть, но они интерпретируются как выходящие за рамки механики. Всё-таки в огромном большинстве случаев - работает именно тезис, что дифференциальное уравнение второго порядка, и состояние описывается положениями и скоростями. То есть, теория, построенная на этом тезисе, имеет большую область применимости (и её и называют механикой).

[anadeia]

Munin в сообщении #1081420 писал(а):

Слова "опыт" и "эксперимент" - синонимы. Дело не в различии между этими словами, а в различии между общим и частным смыслом слова. "Человек - двуногое животное" и "я вижу человека с двумя ногами" - разные смыслы.

Эксперименты "от противного", на самом деле, есть, но они интерпретируются как выходящие за рамки механики. Всё-таки в огромном большинстве случаев - работает именно тезис, что дифференциальное уравнение второго порядка, и состояние описывается положениями и скоростями. То есть, теория, построенная на этом тезисе, имеет большую область применимости (и её и называют механикой).

хорошо.
если вернуться к примеру с осциллятором, то имеется в виду, что если мы рассматриваем маленькие промежутки времени, то тело маятника двигается по прямой, а если большой - то движение идет, например, по окружности, радиус которой - нить маятника. Почему тогда не указываются явно какие-то конкретные неравенства, пределы применимости?

[Munin]

Так. Во-первых, пружинный маятник движется не по окружности. Он движется всегда по прямой.
Во-вторых, у маятника нет никакого тела. Маятник - это точка на оси $x.$ Это же теорфизика!

Насчёт пределов применимости. Справедливо, но вообще-то указать их - непростая математическая задача. А читатель только-только знакомится с новым математическим аппаратом, для него сложны даже элементарные шаги. Так что, пусть пока просто будет в курсе, что такие пределы есть. Но с другой стороны, у принципа экстремальности действия, $\delta S=0,$ пределов применимости (в этом направлении) нет. Он работает и за точкой фокуса.

-- 11.12.2015 23:18:12 --

Пределы применимости механики находятся в других направлениях. Там, где заканчивают работать те физические упрощения и предположения, на которых основывается её матаппарат. Перечислю самые главные:
- механика подразумевает достаточно медленные движения, достаточно продолжительные промежутки времени, на которых рассматривается движение, и достаточно малые силы воздействия, чтобы можно было пользоваться моделями твёрдых тел и материальных точек. Если тела разгонать побыстрее и столкнуть посильнее, или например, изучать обычный процесс соударения на очень ускоренной видеокамере, то придётся учитывать всякие распространения колебаний по телам - механику сплошных сред.
- механика подразумевает незначительное влияние тепловых, электромагнитных, звуковых, и т. п. явлений из других областей физики. Ну, это и так понятно. Хотя рассматривать движение заряженной материальной точки под действием электрического поля, или постоянного магнита рядом с другим магнитом, тоже можно, но до определённых пределов, которые указываются соответственно теорией электричества и магнетизма. Обычно, там речь идёт о малом заряде (в некотором смысле), и малых скоростях и ускорениях движения.
- механика (классическая) подразумевает движения со скоростями $v\ll c.$ Слишком большие скорости изучает механика релятивистская.
- механика (классическая) подразумевает достаточно крупные тела, и достаточно грубые измерения, чтобы не проявлялись квантовые эффекты. Микромир изучает квантовая механика, или вообще квантовая физика (не вся квантовая физика - это квантовая механика; квантовая физика - это более широкое понятие).
- механика подразумевает не слишком большие гравитационные поля. Слишком большие - изучает общая теория относительности.

[physicsworks]

Munin в сообщении #1081408 писал(а):

Sicker в сообщении #1081404 писал(а):

Например, геодезическая шара.

Это, конечно, пример экстремального принципа, но не принципа наименьшего действия.

Это как раз-таки классический пример, рассмотренный, по-моему, еще Уиттекером. А именно, рассматривается свободная точка, движущаяся на гладкой поверхности сферы в отсутствие внешних сил. Траектории --- большие окружности. Действие вдоль траектории пропорционально длине пути и минимально только если эта длина меньше половины длины большого круга.

Кстати, одно из замечаний Владимира Фока, когда он разносил в пух и прах в своей рецензии первое издание "Механики" Ландау и Пятигорского, касалось вот этой экстремальности но не всегда минимальности действия и, если я не ошибаюсь, Фок привел этот же классический пример.

-- 12.12.2015, 09:15 --

anadeia, пример с осциллятором, о котором говорил выше Munin, подробно рассмотрен, например, у Г.Н. Яковенко, "Лекции по теоретической механике" (МФТИ). Собственно, от Геннадия Николаевича я его впервые и услышал

[anadeia]

Munin в сообщении #1081487 писал(а):

Так. Во-первых, пружинный маятник движется не по окружности. Он движется всегда по прямой.
Во-вторых, у маятника нет никакого тела. Маятник - это точка на оси $x.$ Это же теорфизика!

Насчёт пределов применимости. Справедливо, но вообще-то указать их - непростая математическая задача. А читатель только-только знакомится с новым математическим аппаратом, для него сложны даже элементарные шаги. Так что, пусть пока просто будет в курсе, что такие пределы есть. Но с другой стороны, у принципа экстремальности действия, $\delta S=0,$ пределов применимости (в этом направлении) нет. Он работает и за точкой фокуса.

-- 11.12.2015 23:18:12 --

Пределы применимости механики находятся в других направлениях. Там, где заканчивают работать те физические упрощения и предположения, на которых основывается её матаппарат. Перечислю самые главные:
- механика подразумевает достаточно медленные движения, достаточно продолжительные промежутки времени, на которых рассматривается движение, и достаточно малые силы воздействия, чтобы можно было пользоваться моделями твёрдых тел и материальных точек. Если тела разгонать побыстрее и столкнуть посильнее, или например, изучать обычный процесс соударения на очень ускоренной видеокамере, то придётся учитывать всякие распространения колебаний по телам - механику сплошных сред.
- механика подразумевает незначительное влияние тепловых, электромагнитных, звуковых, и т. п. явлений из других областей физики. Ну, это и так понятно. Хотя рассматривать движение заряженной материальной точки под действием электрического поля, или постоянного магнита рядом с другим магнитом, тоже можно, но до определённых пределов, которые указываются соответственно теорией электричества и магнетизма. Обычно, там речь идёт о малом заряде (в некотором смысле), и малых скоростях и ускорениях движения.
- механика (классическая) подразумевает движения со скоростями $v\ll c.$ Слишком большие скорости изучает механика релятивистская.
- механика (классическая) подразумевает достаточно крупные тела, и достаточно грубые измерения, чтобы не проявлялись квантовые эффекты. Микромир изучает квантовая механика, или вообще квантовая физика (не вся квантовая физика - это квантовая механика; квантовая физика - это более широкое понятие).
- механика подразумевает не слишком большие гравитационные поля. Слишком большие - изучает общая теория относительности.

я имел ввиду математический маятник, конечно же. то есть все дальше по ходу курса уточняется - понял.

-- 12.12.2015, 08:20 --

physicsworks в сообщении #1081536 писал(а):

Munin в сообщении #1081408 писал(а):

Sicker в сообщении #1081404 писал(а):

Например, геодезическая шара.

Это, конечно, пример экстремального принципа, но не принципа наименьшего действия.

Это как раз-таки классический пример, рассмотренный, по-моему, еще Уиттекером. А именно, рассматривается свободная точка, движущаяся на гладкой поверхности сферы в отсутствие внешних сил. Траектории --- большие окружности. Действие вдоль траектории пропорционально длине пути и минимально только если эта длина меньше половины длины большого круга.

Кстати, одно из замечаний Владимира Фока, когда он разносил в пух и прах в своей рецензии первое издание "Механики" Ландау и Пятигорского, касалось вот этой экстремальности но не всегда минимальности действия и, если я не ошибаюсь, Фок привел этот же классический пример.

-- 12.12.2015, 09:15 --

anadeia, пример с осциллятором, о котором говорил выше Munin, подробно рассмотрен, например, у Г.Н. Яковенко, "Лекции по теоретической механике" (МФТИ). Собственно, от Геннадия Николаевича я его впервые и услышал

если точка по поверхности сферы движется без внешних сил - это отсутствие и притяжения к сфере?
не очень понял про минимальность действия на траектории. это настолько очевидно, что я даже представить не могу этого, видимо. можно как-то пояснить рисунком?

[Munin]

physicsworks в сообщении #1081536 писал(а):

классический пример, рассмотренный, по-моему, еще Уиттекером. А именно, рассматривается свободная точка, движущаяся на гладкой поверхности сферы в отсутствие внешних сил.

В таком случае, конечно. Но это вообще-то математически совсем другая задача. (Родственная первой, разумеется.)

Для anadeia:
Это описание: "точка, движущаяся на поверхности сферы..." - звучит опять слишком абстрактно-математически. Привыкайте. В теории так принято.

А если подумать над реальной физической интерпретацией такой системы, то можно взять сферический маятник (то есть, математический маятник, качающийся не в одной плоскости, а и в стороны тоже), заменить нить жёстким подвесом, и отправить всё это в невесомость.

anadeia в сообщении #1081537 писал(а):

если точка по поверхности сферы движется без внешних сил - это отсутствие и притяжения к сфере?

Это отсутствие выхода из поверхности сферы. То есть, в реальности, если точка пытается отклониться наружу - то сразу возникает большая сила, отклоняющая её внутрь, и возвращающая на сферу. А если точка пытается отклониться внутрь - то сразу возникает большая сила, отклоняющая её наружу.

Это называется идеальной связью. Такие связи не очень видны в реальной механике, возникают для удобства расчётов в машинах и механизмах (например, как рычаги, шарниры, скользящие соединения разных видов), и оказываются очень важны в абстрактной теоретической механике. К сожалению, Ландау-Лифшиц уделяет связям очень мало внимания, и это его недостаток. Стоит познакомиться с этим понятием хотя бы на уровне понятия (но вообще, механика со связями - более высший раздел теоретической механики, и его надо отложить на потом).

Рекомендую быстренько прочитать
Савельев. Основы теоретической физики. Том 1. Механика, электродинамика.
отдельно § 2. Связи, или можно всю первую главу. И после этого можно возвращаться к Ландау-Лифшицу.

А на будущее, запаситесь книгой
Арнольд. Математические методы классической механики.
Она может светить вам как маяк :-)

anadeia в сообщении #1081537 писал(а):

не очень понял про минимальность действия на траектории. это настолько очевидно, что я даже представить не могу этого, видимо. можно как-то пояснить рисунком?

Ну, это "очевидно" может быть, только если вы неправильно понимаете слово "действие", или в другом случае, если вы уже опытный теорфизик, и знакомы с предметом уже лет пять, как со своими пальцами.

Ещё по принципу наименьшего действия очень советую вот этот фрагмент:
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. Электродинамика. Глава 19.
Это отдельная лекция, "отступление в сторону", и там замечательно объясняется, в чём смысл принципа наименьшего действия.

(Ну а чем он оборачивается в квантах, это пока рано рекомендовать... а то у вас всё в голове перепутается. Но это тоже замечательная вещь. И тоже в изложении Фейнмана!)

-- 12.12.2015 15:08:06 --

P. S. anadeia, вы заметили, как все вокруг цитируют собеседников? Только небольшую часть сообщения, которая достаточно, чтобы понять, на какие слова вы отвечаете. Если вы отвечаете "вообще", то и цитировать вообще ничего не надо. Используйте редактирование цитаты, и/или очень удобную кнопку , чтобы цитировать в необходимых и достаточных количествах. А слишком большие цитаты называются "оверквотинг" и не приветствуются. Ведь рядом с цитатой ваши слова теряются, и читатель вынужден просто перечитывать по второму разу то, что уже видел.

[anadeia]

Вопросы:
1)
- "Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении максимума интеграла (2.1) $ \[\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {L\left( {q,\dot q,t} \right)dt} \]$"
- "Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл $ \[S = \int\limits_1^2 {\frac{{m{v^2}}}{2}dt} \] $ имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значение, т.е. не имел бы минимума."
Так о максимуме или о минимуме интеграла (2.1) идет речь? Сначала же заявлялось и вовсе об экстремуме.
2) "По отношению к произвольной системе пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то, тем не менее, его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны... То же самое относится в общем случае и ко времени"
Можно пример такой СО. На первый взгляд какое-то квантование сплошное.

[Munin]

anadeia в сообщении #1082097 писал(а):

1) Так о максимуме или о минимуме интеграла (2.1) идет речь? Сначала же заявлялось и вовсе об экстремуме.

Забавно. Я и не заметил :-) Там, где "максимум", там Ландау, видимо, просто оговорился. Читайте "минимум".

В общем, легко видеть, что математически речь всё время идёт об экстремуме. При этом, принято соглашение в рамках физики, что некоторые константы должны иметь некоторый знак, чтобы в некоторых условиях этот экстремум был минимумом. Например, для свободного движения частицы (в плоском пространстве). Но понятное дело, что это соглашение - всего лишь выбор знаков нескольких констант, и принципиального значения не имеет. Это просто для удобства и единообразия языка.

anadeia в сообщении #1082097 писал(а):

Можно пример такой СО. На первый взгляд какое-то квантование сплошное.

Да возьмите любую криволинейную систему координат. Хоть полярную. И неоднородную шкалу времени.

Не-е-е, квантование - штука куда более суровая. Не разбрасывайтесь этим словом прежде времени! (Время наступит, как минимум, после знакомства с ЛЛ-3.)

-- 14.12.2015 17:31:34 --

Чем экстремум отличается от минимума? В экстремуме выполняется условие

$$\delta S=0.$$

В минимуме условий больше:

$$\delta S=0,\qquad \delta^2 S>0.$$

Как видите, если мы нашли минимум, то мы нашли экстремум. Но посмотрим в обратную сторону: допустим, мы нашли экстремум. Нужно ли нам убеждаться, что это минимум? Нет, если этот экстремум единственный. (И если $S$ имеет нужный знак, что обеспечивается выбором знака констант в $L.$) Вот и всё. И никто не берёт вторую вариацию. Ограничиваются только первой.

(В квантовой физике, кажется, пригождается вторая. Но это, повторяю, разговор, который стоит затевать только через несколько лет.)

[Nsk]

anadeia в сообщении #1082097 писал(а):

Так о максимуме или о минимуме интеграла (2.1) идет речь? Сначала же заявлялось и вовсе об экстремуме.

Точно помню, что должна была быть сноска(может это от издания зависит), что речь идёт об экстремуме, который локально явлется минимумом. И тогда рассуждения о неотрицательности массы верны, просто надо считать точки 1 и 2 "близкими".

[Munin]

Про экстремум-то да, но про максимум - Ландау просто "ляпнул" :-) И ведь не вычитали за все многочисленные переиздания! :-)

В общем, могу себе представить: в голове экстремум, максимум и минимум слились в нечто единое, и не важно, что сказать... Без условия на $\delta^2 S$ - и действительно не важно.