Разрезание трёхмерных многообразий на полнотория

[Mikhail_K]

Любое ориентируемое компактное трёхмерное многообразие можно получить склеиванием двух полных кренделей одного рода (т.е. двух тел, ограниченных сферами с одним и тем же количеством ручек в $\mathbb{R}^3$) по некоторому гомеоморфизму их края.

Например, трёхмерная сфера $S^3$ может быть получена склеиванием двух полноторий (тел, ограниченных торами) - для этого нужно параллели первого тора склеивать с меридианами второго, а меридианы первого - с параллелями второго.
Мне так же было интересно разобраться в том, как получается проективное пространство $\mathbb{R}P^3$ из двух полноторий - и теперь я понимаю, как это происходит. При этом меридианы каждого тора склеиваются с некоторыми скрученными линиями на другом торе.

Вопрос к знающим: что за пространство получится, если склеить два полнотория по самому естественному гомеоморфизму их краёв - параллель к параллели, меридиан к меридиану? Мне это просто интересно, имеет ли название такое пространство и что оно из себя представляет.

-- 11.12.2015, 16:36 --

Вопрос закрыт, я прочитал что это $S^2\times S^1$ и разобрался, почему так. Тему можно закрывать.

[Munin]

Вроде бы, полноторию всё равно, где у него параллели, а где меридианы.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1081401 писал(а):

Вроде бы, полноторию всё равно, где у него параллели, а где меридианы.

Нет! Это тору всё равно, а полноторию нет. Например, меридиан в полнотории гомотопен нулю (схлопывается в точку в меридиональном сечении), а параллель нет.

-- 11.12.2015, 16:52 --

Но даже если у нас не полнотория, а просто два тора, то их гомеоморфизм, при котором параллели склеиваются с параллелями, меридианы с меридианами, неизотопен гомеоморфизму, при котором параллели склеиваются с меридианами, а меридианы с параллелями, и потому эти гомеоморфизмы различимы и приводят (при склеивании полноторий) к разным трёхмерным многообразиям.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1081403 писал(а):

Нет! Это тору всё равно, а полноторию нет. Например, меридиан в полнотории гомотопен нулю (схлопывается в точку в меридиональном сечении), а параллель нет.

Да, вы правы.

Но я не понимаю, почему. Возьмём произведение конуса над отрезком, и отрезка. И склеим его с самим собой по боковым граням. Получится полноторие, как мне кажется. Теперь можно стянуть отрезок - образ вершины конуса - в точку. Мне кажется, получится совершенно симметричная вещь: конус над тором. Где я чего испортил?

-- 11.12.2015 17:10:17 --

Да, вкладывая всё мысленно в $R^3,$ я и ответ $S^2\times S^1$ понимаю, но рассуждая на клеточном уровне - всё-таки нет.

-- 11.12.2015 17:11:05 --

А, хотя стоп! Кажется, получается!