Найти главную часть эквивалентной функции

[Charlz_Klug]

Откровенно слабовато знаю эту тему. Прошу проверить решение.

Задача:
Для функции $f(x) = 2^x - 8$ найти главную часть эквивалентной ей функции вида $C(x - 3)^\alpha$ при $x \to 3$ и указать их порядок роста.

Решение:
Из условия получаем $\lim\limits_{x \to 3}{\frac{2^x - 8}{(x - 3)^\alpha}}$. Выполним замену: $t = x -3 \Rightarrow x = t + 3 \Rightarrow t \to 0$. Получаем: $\lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^{t + 3} - 8}{t^\alpha}} = \lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^3(2^t - 1)}{t^\alpha}}$. При $t \to 0$ функции $2^t - 1$ эквивалентна функция $t \ln{2}$, получаем: $\lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^3 t \ln{2}}{t^ \alpha}}$. Положим $\alpha = 1$, тогда получаем: $\lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^3 t \ln{2}}{t}} = \lim\limits_{t \to 0}{2^3 \ln{2}} = 8 \ln{2}$. Отсюда делаем вывод что главная часть равна $8 \ln {2}(x - 3)$. Порядок роста $f(x) = 2^x - 8$ при $x \to 3$ по сравнению с $8 \ln {2}(x - 3)$ составляет $\alpha = 1$.

[gefest_md]

Charlz_Klug в сообщении #1081163 писал(а):

Положим $\alpha = 1$

Мысли вслух. Требуем чтобы предел был $1$. Если $\alpha >1$, тогда \infty$. Если $\alpha <1$, тогда $0$. Значит $\alpha =1$. А что такое порядок роста? Я должен представить себе это дело графически?

[provincialka]

Charlz_Klug
Нормально, только зачем вам предел? Пользуйтесь эквивалентностью! Ведь главная часть и есть то, чему функция эквивалентна.

Charlz_Klug в сообщении #1081163 писал(а):

по сравнению с $8 \ln {2}(x - 3)$

Ну.. можно просто "по сравнению с $x-3$". Постоянный множитель роли не играет.

[Charlz_Klug]

gefest_md в сообщении #1081178 писал(а):

Мысли вслух. Требуем чтобы предел был $1$. Если $\alpha >1$, тогда \infty$. Если $\alpha <1$, тогда $0$. Значит $\alpha =1$.

Спасибо.

gefest_md в сообщении #1081178 писал(а):

А что такое порядок роста?

Я руководствовался этим определением.

gefest_md в сообщении #1081178 писал(а):

Я должен представить себе это дело графически?

Я думаю, что графически представлять не нужно.

provincialka в сообщении #1081209 писал(а):

Charlz_Klug
Нормально, только зачем вам предел? Пользуйтесь эквивалентностью!

Я рассудил так: поскольку эквивалентности определены для условия $x \to 0$, а у меня $x \to 3$, то следует привести некую $t \to 0$.

provincialka в сообщении #1081209 писал(а):

Ну.. можно просто "по сравнению с $x-3$". Постоянный множитель роли не играет.

Спасибо.