2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти главную часть эквивалентной функции
Сообщение10.12.2015, 18:33 
Откровенно слабовато знаю эту тему. Прошу проверить решение.

Задача:
Для функции $f(x) = 2^x - 8$ найти главную часть эквивалентной ей функции вида $C(x - 3)^\alpha$ при $x \to 3$ и указать их порядок роста.

Решение:
Из условия получаем $\lim\limits_{x \to 3}{\frac{2^x - 8}{(x - 3)^\alpha}}$. Выполним замену: $t = x -3 \Rightarrow x = t + 3 \Rightarrow t \to 0$. Получаем: $\lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^{t + 3} - 8}{t^\alpha}} = \lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^3(2^t - 1)}{t^\alpha}}$. При $t \to 0$ функции $2^t - 1$ эквивалентна функция $t \ln{2}$, получаем: $\lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^3 t \ln{2}}{t^ \alpha}}$. Положим $\alpha = 1$, тогда получаем: $\lim\limits_{t \to 0}{\frac{2^3 t \ln{2}}{t}} = \lim\limits_{t \to 0}{2^3 \ln{2}} = 8 \ln{2}$. Отсюда делаем вывод что главная часть равна $8 \ln {2}(x - 3)$. Порядок роста $f(x) = 2^x - 8$ при $x \to 3$ по сравнению с $8 \ln {2}(x - 3)$ составляет $\alpha = 1$.

 
 
 
 Re: Найти главную часть эквивалентной функции
Сообщение10.12.2015, 19:21 
Аватара пользователя
Charlz_Klug в сообщении #1081163 писал(а):
Положим $\alpha = 1$
Мысли вслух. Требуем чтобы предел был $1$. Если $\alpha >1$, тогда \infty$. Если $\alpha <1$, тогда $0$. Значит $\alpha =1$. А что такое порядок роста? :cry: Я должен представить себе это дело графически?

 
 
 
 Re: Найти главную часть эквивалентной функции
Сообщение10.12.2015, 20:45 
Аватара пользователя
Charlz_Klug
Нормально, только зачем вам предел? Пользуйтесь эквивалентностью! Ведь главная часть и есть то, чему функция эквивалентна.
Charlz_Klug в сообщении #1081163 писал(а):
по сравнению с $8 \ln {2}(x - 3)$
Ну.. можно просто "по сравнению с $x-3$". Постоянный множитель роли не играет.

 
 
 
 Re: Найти главную часть эквивалентной функции
Сообщение10.12.2015, 20:58 
gefest_md в сообщении #1081178 писал(а):
Мысли вслух. Требуем чтобы предел был $1$. Если $\alpha >1$, тогда \infty$. Если $\alpha <1$, тогда $0$. Значит $\alpha =1$.
Спасибо.
gefest_md в сообщении #1081178 писал(а):
А что такое порядок роста? :cry:
Я руководствовался этим определением.
gefest_md в сообщении #1081178 писал(а):
Я должен представить себе это дело графически?
Я думаю, что графически представлять не нужно.
provincialka в сообщении #1081209 писал(а):
Charlz_Klug
Нормально, только зачем вам предел? Пользуйтесь эквивалентностью!
Я рассудил так: поскольку эквивалентности определены для условия $x \to 0$, а у меня $x \to 3$, то следует привести некую $t \to 0$.
provincialka в сообщении #1081209 писал(а):
Ну.. можно просто "по сравнению с $x-3$". Постоянный множитель роли не играет.
Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group