Ранее в моей теме "И вновь о соседних кубах" я приводил гипотезу о существовании своеобразных "областей отсутствия решений" для "уточненных уравнений", являющихся развитием частного случая для разности степеней соседних натуральных чисел.
Напомню:
Если рассматривать уточненное уравнение для разности соседних кубов, то после элементарных рассуждений можно прийти, в частности, к выводу, что гипотетические решения стоит искать для уравнения:

Зная, что решений нет, добавим ещё одно слагаемое, чтобы решения в натуральных числах появились:

, где

-натуральные,

- целое
Очевидно, что справедливо такое представление:

,
тогда окончательно:

или, если "уж совсем уточненно":

Перебором выявлено (сегмент перебора по

от 0 до 300000), что все решения

лежат либо в отрицательной области, граничным для которой является -7, либо - в положительной области, граничным для которой является

.
То есть, решения имеются только при:


Между этими значениями - область отсутствия решений для любых

. Назовем эту область "Z-область" (или "Зеро- область", от слова "Зеро - ничто"). А величину

назовем "приведенной шириной зет-области". Тогда просто "ширина зет-области" будет

Проверено также для некоторых следующих простых степеней (пока вычисления были возможны) - зеро-области также присутствуют.
Так что, непосредственно гипотеза:
Z-область любой простой степени
имеет ненулевую ширину, равную:

Для
ширина равна:

Если гипотеза верна и Z-области действительно существуют (что пока подтверждено только перебором), то справедливо следующее утверждение:
Уравнение:

не имеет решений в натуральных числах, если:
имеют вид
, а показатели степени - простые большие 2 и их произведения.
Далее - остается только свести поиск контрпримера к гипотезе Била в область определения предыдущего утверждения.
Правда, остается неясность с 4-ой степенью, однако, судя по примеру ВТФ, этот случай должен быть полегче..
