О гипотезе Била и Z-области

[alexo2]

Ранее в моей теме "И вновь о соседних кубах" я приводил гипотезу о существовании своеобразных "областей отсутствия решений" для "уточненных уравнений", являющихся развитием частного случая для разности степеней соседних натуральных чисел.
Напомню:
Если рассматривать уточненное уравнение для разности соседних кубов, то после элементарных рассуждений можно прийти, в частности, к выводу, что гипотетические решения стоит искать для уравнения:
$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3$
Зная, что решений нет, добавим ещё одно слагаемое, чтобы решения в натуральных числах появились:
$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3+T$, где $a,b$-натуральные, $T$ - целое
Очевидно, что справедливо такое представление:
$T=6k$,
тогда окончательно:
$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3+6k$
или, если "уж совсем уточненно":
$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3+18p$
Перебором выявлено (сегмент перебора по $a,b$ от 0 до 300000), что все решения$p$ лежат либо в отрицательной области, граничным для которой является -7, либо - в положительной области, граничным для которой является $+12$.
То есть, решения имеются только при:
$p<-6$
$p>11$
Между этими значениями - область отсутствия решений для любых $a,b$. Назовем эту область "Z-область" (или "Зеро- область", от слова "Зеро - ничто"). А величину $s = 12+7 = 19$ назовем "приведенной шириной зет-области". Тогда просто "ширина зет-области" будет $S = 342$
Проверено также для некоторых следующих простых степеней (пока вычисления были возможны) - зеро-области также присутствуют.
Так что, непосредственно гипотеза:
Z-область любой простой степени $n>3$ имеет ненулевую ширину, равную:
$S = (6n+1)^3 - 1$
Для $n=3$ ширина равна:
$S = (6+1)^3 - 1 = 342$

Если гипотеза верна и Z-области действительно существуют (что пока подтверждено только перебором), то справедливо следующее утверждение:

Уравнение:
$A^x+B^y=C^z$
не имеет решений в натуральных числах, если:
$A,B,C$ имеют вид $6a+1,6b+1,6c+1$, а показатели степени - простые большие 2 и их произведения.


Далее - остается только свести поиск контрпримера к гипотезе Била в область определения предыдущего утверждения.

Правда, остается неясность с 4-ой степенью, однако, судя по примеру ВТФ, этот случай должен быть полегче..

[vasili]

Уважаемый Lasta!
Уравнение:
$A^x+B^y+C^z$
не имеет решений в натуральных числах, если:
$A,B,C$ имеют вид $6a+1,6b+1,6c+1$, а показатели степени - простые большие 2 и их произведения.

Если числа $A,B,C$ натуральные, то тогда одно из уравнений запишем так $A^x + B^y = C^z\engo(1)$, в этом случае числа $A,B,C$ имеющие вид $6a+1,6b+1,6c+1$ не могут удовлетворять уравнению(1), так как сравнивая (1) по модулю 6 получим, что 1 делится на 6.

[alexo2]

Только я не Lasta.. (уже не "последний" аж 2 раза)

Да, имеется ввиду не одновременно они имеют такой вид, а любые два из них...

[Cash]

alexo2 в сообщении #1080580 писал(а):

$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3+18p$
Перебором выявлено (сегмент перебора по $a,b$ от 0 до 300000), что все решения$p$ лежат либо в отрицательной области, граничным для которой является -7, либо - в положительной области, граничным для которой является $+12$.
То есть, решения имеются только при:
$p<-6$
$p>11$
Между этими значениями - область отсутствия решений для любых $a,b$.

$(6\cdot 12+1)^3-(6 \cdot 12)^3 = 18\cdot 8+ (6 \cdot 4 +1)^3 $

Получили $p=8$. А перебор даже и не начинали.

[alexo2]

Cash в сообщении #1080584 писал(а):

Получили $p=8$. А перебор даже и не начинали.

Знаки граничных значений попутал, однако на ширину зет-области это не влияет..

Вот примеры (кроме начального тривиального), когда значение "верхней" (условно) границы зет-области принимает минимальное (равное 7-ми):

(7875, 314, 7), (144458, 2185,7)

соответственно, (a, b, p)

[alexo2]

Наличие Z-области для разности соседних кубов очевидно следует из следующих фактов:
1. Эквивалентного уравнения для разности соседних кубов:
$3m^2+1=4n^3$
2. Уточненного уравнения для разности соседних кубов:
$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3$
3. Отсутствия нетривиальных натуральных решений (1) и (2)
4. Связей:
$m=12a, n= 6b+1$, откуда следует, что Z-область ограничивается снизу на 12, сверху на 7 по $p$, или, в абсолютных значениях на 216 и 126 соответственно.

-- 09.12.2015, 15:17 --

Для 5-ой степени - аналогично, только для эквивалентного уравнения:
$5m^2-1=4n^5$
и уточненного уравнения:
$(30a+1)^5-(30a)^5=(30b+1)^5$

-- 09.12.2015, 15:36 --

для последующих простых показателей - тот же принцип, где уточненное уравнение для степени $k$ будет:

$(6ka+1)^k-(6ka)^k=(6kb+1)^k$

с соответствующими эквивалентными уравнениями.

Так что можно было и без перебора обойтись..

Как стало модным писать - "Продолжение следует..."

[vasili]

Уважаемый alexo2! Приношу Вам свои извинения.

[alexo2]

vasili в сообщении #1080878 писал(а):

Уважаемый alexo2! Приношу Вам свои извинения.

(Оффтоп)

Да бывает - ничего страшного! Я, собственно, и уточнил только затем, чтобы дальше по-запарке не продолжалось неправильное обращение

[lasta]

alexo2 в сообщении #1080566 писал(а):

Уравнение:
$A^x+B^y=C^z$
не имеет решений в натуральных числах, если:
$A,B,C$ имеют вид $6a+1,6b+1,6c+1$, а показатели степени - простые большие 2 и их произведения.

Уважаемый alexo2!
Как Ваше утверждение согласуется с тем, что уравнение $x^n+y^n=z^{n+1}$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

[alexo2]

lasta в сообщении #1080951 писал(а):

Как Ваше утверждение согласуется с тем, что уравнение $x^n+y^n=z^{n+1}$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Я по порядку (своему) буду действовать - следующим шагом будет рассмотрение "простейшего" случая ГБ, имеющего прямую связь с ВТФ посредством Z-областей - доказательство отсутствия решений для уравнения:
$A^x+B^y=C^z$, где:
$x = z = 3, y = 5$
$A = 6c, B = (6b+1), C = (6c+1)$

т.е., если в "двух словах" - доказательство того, что разность любых соседних кубов не может быть 5-ой степенью.

[lasta]

alexo2 в сообщении #1081061 писал(а):

доказательство отсутствия решений для уравнения:
$A^x+B^y=C^z$, где:
$x = z = 3, y = 5$

Уважаемый alexo2!
Для этого уравнения также существует бесконечно много решений в натуральных числах, отвечающих гипотезе Била (числа имеют общий делитель). Но, соседние кубы не имеют общего делителя, поэтому Ваш случай представляет интерес.

[alexo2]

lasta в сообщении #1081068 писал(а):

alexo2 в сообщении #1081061 писал(а):

доказательство отсутствия решений для уравнения:
$A^x+B^y=C^z$, где:
$x = z = 3, y = 5$

Уважаемый alexo2!
Для этого уравнения также существует бесконечно много решений в натуральных числах, отвечающих гипотезе Била (числа имеют общий делитель).

Спасибо, я знаю..
И что?..

-- 10.12.2015, 09:41 --

(Оффтоп)

Уважаемый Lasta! Вы как-нибудь отмечайте свои более поздние вставки и добавки, - ничего личного, просто, не хочется ещё более выглядеть идиотом, чем уже выгляжу, занимаясь всем этим..

[lasta]

alexo2 в сообщении #1081069 писал(а):

И что?..

у Вас отсутствует ограничение по примитивным решениям. Хотя это уже воспринимается как факт - само собой.

[alexo2]

alexo2 в сообщении #1081061 писал(а):

... доказательство того, что разность любых соседних кубов не может быть 5-ой степенью.

Очевидно, что для рассматриваемого случая, без потери общности, можно выписать:
Эквивалентное уравнение:
$3m^2+1 = 4n^5$
Уточненное уравнение:
$(30a+1)^3-(30a)^3=(30b+1)^5$,
при связи:
$m = 60a, n=30b+1$,
соответственно, границы по $p = [60, 31]$
Однако, на данном этапе неизвестно, - является ли область, отделенная этими границами полноценной Z-областью (то есть, неизвестно, имеются ли решения в 0-ой точке, а известно, что решений нет на отрезках $0<p<31, -60<p<0$).
Далее будет представлено доказательство отсутствия решений и в точке
$p = 0$
Что будет означать отсутствие решений и для исходного уравнения.

[alexo2]

alexo2 в сообщении #1081096 писал(а):

Далее будет представлено доказательство отсутствия решений и в точке
$p = 0$
Что будет означать отсутствие решений и для исходного уравнения.

Собственно, тут можно сделать "ход конем" - конкретно этот случай (разность соседних кубов не может быть пятой степенью) является следствием, причем, более общего утверждения, то что вообще никакая разность кубов не может быть пятой степенью, являющегося одним из следствий доказательства Тейлора обобщенной гипотезы Таниямы...