2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Ну... вы очень уж ужесточили требования... Почему такие равенства?

А насчет координатного метода ... Во-первых, я не выписывала все слагаемые... Только "типичные", а дальше -- по аналогии...
Кроме того, хорошо бы кто-то еще подключился: возможно, все это легко доказывается более "инвариантными" методами

-- 09.12.2015, 01:24 --

mr.tumkan2015 в сообщении #1080777 писал(а):
Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

Думаю, это надо использовать! Посмотрите, в "моем" тождестве вектор $\vec a$ все время остается на месте...

-- 09.12.2015, 01:26 --

А зачем вы здесь:
mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):
$(\vec{f},[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{f},\vec{c}],[\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=$
"одиночные" векторы пишете в квадратных скобках? На плоскости это может обозначать "поворот на $90^\circ$"

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 02:34 


14/10/15
120
Попробую чуть ослабить требования:

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x+a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y  +a_y b_x c_y d_x+\operatorname{inv}(c\leftrightarrow b)$$

Более слабое требование:

$$a_y b_z c_y d_z + +a_z b_xc_z d_x+a_x b_yc_x d_y  =a_z b_yc_z d_y+a_x b_zc_x d_z+a_y b_x c_y d_x$$

Перепишем иначе:

$$a_y c_y b_z d_z  +a_zc_z b_x d_x+a_xc_x b_y d_y  =a_zc_z  b_yd_y+a_x c_xb_z d_z+a_y c_yb_x  d_x$$

Перепишем иначе:

$$a_y c_y b_z d_z -a_zc_z  b_yd_y+ a_zc_z b_x d_x-a_x c_xb_z d_z +a_xc_x b_y d_y-a_y c_yb_x  d_x  =0$$

$$\begin{vmatrix}
 a_y c_y&  b_yd_y\\
 a_zc_z&  b_z d_z \\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
 b_x d_x&  a_x c_x\\
 b_z d_z&   a_zc_z \\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
 a_xc_x&  b_x  d_x \\
a_y c_y&   b_y d_y \\
\end{vmatrix}=0$$

$$\begin{vmatrix}
 a_y c_y&  b_yd_y\\
 a_zc_z&  b_z d_z \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
 a_x c_x&b_x d_x  \\
 a_zc_z&b_z d_z    \\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
 a_xc_x&  b_x  d_x \\
a_y c_y&   b_y d_y \\
\end{vmatrix}=0$$

Что-то это напоминает нечто вроде определителя такого (но не совсем такого)

$$
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
 a_xc_x& a_y c_y&  b_x  d_x \\
a_y c_y&  a_zc_z& b_y d_y \\
\end{vmatrix}$$

Насчет тождества Якоби тогда еще завтра посмотрю, а то уже не соображаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 10:54 


14/10/15
120
Цитата:
Цитата:
$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

Думаю, это надо использовать! Посмотрите, в "моем" тождестве вектор $\vec a$ все время остается на месте...
А зачем вы здесь:
mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):
$(\vec{f},[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{f},\vec{c}],[\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=$"
одиночные" векторы пишете в квадратных скобках? На плоскости это может обозначать "поворот на $90^\circ$"


Что-то пока не понял -- как использовать. Квадратные скобки случайно оставил, извините

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Ну, чтобы использовать надо сначала правильно записать! Тройного векторного произведения не бывает. Тут вы скобок недобрали. Запишите правильно, например для трех последних векторов, а потом умножьте скалярно на $\vec a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 14:15 


14/10/15
120
provincialka в сообщении #1080844 писал(а):
Ну, чтобы использовать надо сначала правильно записать! Тройного векторного произведения не бывает. Тут вы скобок недобрали. Запишите правильно, например для трех последних векторов, а потом умножьте скалярно на $\vec a$.


Спасибо. Но что именно написать? Я пока что даже идейно не понимаю -- что требуется.

$[\vec b,\vec c,\vec d]\cdot \vec a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Это же ваша идея:
mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):
$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=...=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])$

Только сдвинь корону набок уберите скобки у $\vec d$. А дальше можно переставлять элементы двойного векторного произведения (по Якоби) или свести к линейной комбинации по формуле БАЦ -- ЦАБ.

PS. Посмотрела: тройное векторное тоже бывает, но это неудобно: надо запоминать, в каком порядке применяются операции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 16:58 


14/10/15
120
provincialka в сообщении #1080907 писал(а):
Это же ваша идея:
mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):
$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=...=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])$

Только сдвинь корону набок уберите скобки у $\vec d$. А дальше можно переставлять элементы двойного векторного произведения (по Якоби) или свести к линейной комбинации по формуле БАЦ -- ЦАБ.

PS. Посмотрела: тройное векторное тоже бывает, но это неудобно: надо запоминать, в каком порядке применяются операции.


Спасибо!

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=...=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],\vec{d}])$

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{a}(\vec{b},\vec{c})-\vec{c}(\vec{a},\vec{b}),\vec{d}])=(\vec{b},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{c})-(\vec{a},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{b})$

Если $\vec{b}$ и $\vec{c}$ поменять местами, то вычитаемое останется неизменным, но нам нужно потребовать, чтобы

$(\vec{a},\vec{c})=(\vec{a},\vec{b})$

То есть проекция векторов $\vec{c}$ и $\vec{b}$ на вектор $\vec{a}$ совпадала. Верно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
860
ЦФО, Россия
provincialka в сообщении #1080794 писал(а):
Кроме того, хорошо бы кто-то еще подключился: возможно, все это легко доказывается более "инвариантными" методами

$$
(a\times b)\cdot(c\times d)=((a\times b)\times c)\cdot d=(b(a\cdot c)-a(b\cdot c))\cdot d=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)
$$
Отсюда
$$
(a\times b)\cdot(c\times d)+(a\times c)\cdot(d\times b)+(a\times d)\cdot(b\times c)=0
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
lek
Спасибо! Но мы это уже вроде выяснили... Только ТС постоянно путается в обозначениях...
mr.tumkan2015 в сообщении #1080923 писал(а):
$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{a}(\vec{b},\vec{c})-\vec{c}(\vec{a},\vec{b}),\vec{d}])=(\vec{b},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{c})-(\vec{a},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{b})$

Опечатка! Куда $\vec d$ пропало?
О! тройное произведение должно раскладываться по $\vec a,\vec b$
И вообще запись неряшливая... у вас уже какое-то "четверное векторное произведение"!

-- 09.12.2015, 20:20 --

В этой задаче не очень ясно, что считать "хорошим" условием... Ну, намного"лучшим", чем исходное...

Думаю, используя тождество с тремя слагаемыми, можно свести всё к взаимному расположению плоскостей, натянутых на $\vec a,\vec d$ и на $\vec b, \vec c$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group