2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 14:56 


14/10/15
120
Найти условие, при котором

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{a},\vec{c}],[\vec{b},\vec{d}])$

Обозначим $[\vec{a},\vec{b}]=\vec{f}$

Используя свойство смешанного произведения

$(\vec{f},[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{f},\vec{c}],[\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=$

$=-([[\vec{c},\vec{a}],[\vec{b},\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{c}],[\vec{b},\vec{d}])$

Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 15:58 
Заслуженный участник


16/02/13
3899
Владивосток
У вас что, тождество, что ли получилось? А вот если взять частный случай $\vec a=\vec b$, что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 18:42 


14/10/15
120
iifat в сообщении #1080614 писал(а):
У вас что, тождество, что ли получилось? А вот если взять частный случай $\vec a=\vec b$, что получится?

Спасибо, да получается ерунда тогда, с одной стороны ноль, с другой, вполне может быть не ноль. Но ошибку не могу найти никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Как у вас получилось равенство, на котором вы сделали перенос строки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 18:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1296
$-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([\vec{c},\vec{a}],[\vec{b},\vec{d}])$ - странное равенство

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
О уже двое написали! Ну я до кучи, чтобы не пропадало:
Четвертое равенство в цепочке. Как $a$ и $b$ "выскочили" из своего векторного произведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 19:02 


14/10/15
120
Спасибо!

Я думал там можно делать циклическую перестановку! Видимо для двойного векторного произведения нет такого свойства

А может просто условие должно быть $\vec{b}=\vec{c}$ да и все? Нужно ли это доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mr.tumkan2015 в сообщении #1080667 писал(а):
Я думал там можно делать циклическую перестановку! Видимо для двойного векторного произведения нет такого свойства

Именно! Совершенно нет!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 21:17 


14/10/15
120
mr.tumkan2015 в сообщении #1080667 писал(а):

А может просто условие должно быть $\vec{b}=\vec{c}$ да и все? Нужно ли это доказывать?

А это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Чисто координатным методом получилось тождество $([a,b],[c,d])+([a,c],[d,b])+([a,d],[b,c]) =0$ (надо перепроверить)
Сумма первых двух слагаемых перестановкой сводится к разности $([a,b],[c,d])-([a,c],[b,d])$ исследуемых выражений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 23:47 


14/10/15
120
provincialka в сообщении #1080748 писал(а):
Чисто координатным методом получилось тождество $([a,b],[c,d])+([a,c],[d,b])+([a,d],[b,c]) =0$ (надо перепроверить)

А как именно вы так получили чисто координатным методом? Что нужно делать после введения системы координат? А не тождество ли Якоби это?)

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

provincialka в сообщении #1080748 писал(а):
Сумма первых двух слагаемых перестановкой сводится к разности $([a,b],[c,d])-([a,c],[b,d])$ исследуемых выражений.

То есть условие -- это $([a,d],[b,c]) =0$, правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Проверьте счет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 23:52 


14/10/15
120
provincialka в сообщении #1080779 писал(а):
Проверьте счет...

А как именно вы так получили чисто координатным методом? Что нужно делать после введения системы координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение08.12.2015, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Ну... записать в координатах векторное и скалярное произведения... Я, правда, внимательно не смотрела... Это же не моя задача...
Проверила частично, произведение первых координат...

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное, векторное произведение.
Сообщение09.12.2015, 00:32 


14/10/15
120
Спасибо! Не уж-то вот так имеется ввиду?

$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x)$

$[ \mathbf c,\; \mathbf d ] = (c_y d_z - c_z d_y,\; c_z d_x - c_x d_z,\; c_x d_y - c_y d_x)$

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=(a_y b_z - a_z b_y)(c_y d_z - c_z d_y)+(a_z b_x - a_x b_z)(c_z d_x - c_x d_z)+(a_x b_y - a_y b_x)(c_x d_y - c_y d_x)$$

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z (c_y d_z - c_z d_y)- a_z b_y(c_y d_z - c_z d_y)+a_z b_x(c_z d_x - c_x d_z) - a_x b_z(c_z d_x - c_x d_z)+$$

$$+a_x b_y(c_x d_y - c_y d_x) - a_y b_x(c_x d_y - c_y d_x)$$

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z - a_y b_z c_z d_y- a_z b_yc_y d_z + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x - a_z b_xc_x d_z -$$

$$- a_x b_zc_z d_x +a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y - a_x b_yc_y d_x - a_y b_xc_x d_y +a_y b_x c_y d_x$$

-- 09.12.2015, 00:33 --

Аналогично можно расписать $([\vec{a},\vec{c}],[\vec{b},\vec{d}])$. Наверное, есть способ попроще...

-- 09.12.2015, 00:36 --

Хотя... тут просто переобозначение, вроде...

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y c_z b_y d_z - a_y c_z b_z d_y- a_z c_yb_y d_z + a_z c_yb_z d_y+a_z c_xb_z d_x - a_z c_xb_x d_z -$$

$$- a_x c_zb_z d_x +a_x c_zb_x d_z+a_x c_yb_x d_y - a_x c_yb_y d_x - a_y c_xb_x d_y +a_y c_x b_y d_x$$

-- 09.12.2015, 00:39 --

Я понял, что удобнее внимательно присмотреться и делать перестановочки

-- 09.12.2015, 00:47 --

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z - (a_y b_z c_z d_y)- (a_z b_yc_y d_z) + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x - (a_z b_xc_x d_z )-$$

$$- (a_x b_zc_z d_x) +a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y - (a_x b_yc_y d_x) - (a_y b_xc_x d_y) +a_y b_x c_y d_x$$

В скобке взял инварианты относительно переобозначения.

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x+a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y  +a_y b_x c_y d_x+\operatorname{inv}(c\leftrightarrow b)$$

Выписываю условия, на мой взгляд, подходящие:

$a_yd_z =a_z d_y, \;\;a_z d_x=a_x d_z,\;\; a_x d_y=a_y d_x$

А это ничто иное, как тоже самое, что $[ \mathbf a,\; \mathbf d ]=0$

Правильно? Хотя бы идейно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group