Различные обобщения понятия меры

[Nobody85]

Здравствуйте. Я не великий специалист в теории меры, поэтому у меня возникло несколько вопросов (возможно, глупых). Существует ли мера более общая, чем мера Лебега? Мера Лебега является счётно аддитивной, а можно ли ввести "несчётно-аддитивную" меру? Существует ли настолько общая мера, что ЛЮБОЕ ограниченное множество будет измеримым по ней? Какое из понятий меры множества является наиболее общим и существует ли предельно общее понятие меры?

[arseniiv]

Стоп-стоп. «Наиболее общее понятие меры» — это мера сама по себе и есть со своим определением. Ему удовлетворяют какие угодно меры на каких угодно множествах. Но вам нужно, как видно, несколько другое.

[Nobody85]

Да, наверное, мне стоит говорить об обобщении понятия меры на максимально широкий класс множеств.

[arseniiv]

Мера на $X$ — это функция из какого-то $\mathcal A\subset 2^X$ в неотрицательные вещественные числа (а, ну и $\infty$) [со свойствами]. Как понимаю, вы хотите $\mathcal A$ побольше? Во многих случаях $\mathcal A$ в точности равно $2^X$ — например, для всякого конечного $X$ таких мер пруд пруди, задаваемых мерами одноэлементных множеств. Так что меры на конечных множествах, вероятно, рассматривать не надо. А какие надо?

[kp9r4d]

Nobody85 в сообщении #1080648 писал(а):

Мера Лебега является счётно аддитивной, а можно ли ввести "несчётно-аддитивную" меру?

Континуум-аддитивная мера которая принимает любое одноточечное множество за 0, очевидно, посчитает любое множество равным 0. Догадаетесь почему? :3

Nobody85 в сообщении #1080648 писал(а):

Существует ли настолько общая мера, что ЛЮБОЕ ограниченное множество будет измеримым по ней?

Трансляционно-инвариантной счётно-аддитивной меры, расширяющую меру Лебега, которая бы посчитала меру множества Витали не существует - это известный контрпример. Можно отказаться от трансляционной инвариантности, и тогда вопрос будет неразрешим в $ZFC$ (но ситуация может поменяться, если мы поверим в некоторые большие кардиналы), а можно отказаться от счётной аддитивности и тогда, используя теорему Хана-Банаха, можно расширить меру Лебега на все подмножества $\mathbb{R}$, но эта "расширенная мера" будет всего лишь конечно-аддитивной.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1080754 писал(а):

можно отказаться от счётной аддитивности и тогда, используя теорему Хана-Банаха, можно расширить меру Лебега на все подмножества $\mathbb{R}$, но эта "расширенная мера" будет всего лишь конечно-аддитивной.

А также $\mathbb R^2$. Но не $\mathbb R^3$.

[ProPupil]

Естественным обобщением понятия мера является понятие знакопеременная мера, которая определяется как счётно-аддитивная функция $\mu:\mathcal A \to (-\infty, +\infty]$.

Однако (ссылка) есть результат, который показывает, что и в этом случае не всякое ограниченное множество будет измеримым.
Причём вопрос рассматривается для произвольных мер и доказывается несуществование универсальной меры.

Приведу перевод утверждения из этой статьи на всякий случай.

Не существует нетривиальной безатомной функции $L:2^\mathbb R \to \bar{ \mathbb R}, которая была бы $\sigma$-аддитивной и трансляционно-инвариантной.