Мера Лебега является счётно аддитивной, а можно ли ввести "несчётно-аддитивную" меру?
Континуум-аддитивная мера которая принимает любое одноточечное множество за 0, очевидно, посчитает любое множество равным 0. Догадаетесь почему? :3
Существует ли настолько общая мера, что ЛЮБОЕ ограниченное множество будет измеримым по ней?
Трансляционно-инвариантной счётно-аддитивной меры, расширяющую меру Лебега, которая бы посчитала меру множества Витали не существует - это известный контрпример. Можно отказаться от трансляционной инвариантности, и тогда вопрос будет неразрешим в
(но ситуация может поменяться, если мы поверим в некоторые большие кардиналы), а можно отказаться от счётной аддитивности и тогда, используя теорему Хана-Банаха, можно расширить меру Лебега на все подмножества
, но эта "расширенная мера" будет всего лишь конечно-аддитивной.