Скалярное, векторное произведение.

[provincialka]

Ну... вы очень уж ужесточили требования... Почему такие равенства?

А насчет координатного метода ... Во-первых, я не выписывала все слагаемые... Только "типичные", а дальше -- по аналогии...
Кроме того, хорошо бы кто-то еще подключился: возможно, все это легко доказывается более "инвариантными" методами

-- 09.12.2015, 01:24 --

mr.tumkan2015 в сообщении #1080777 писал(а):

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

Думаю, это надо использовать! Посмотрите, в "моем" тождестве вектор $\vec a$ все время остается на месте...

-- 09.12.2015, 01:26 --

А зачем вы здесь:

mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):

$(\vec{f},[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{f},\vec{c}],[\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=$

"одиночные" векторы пишете в квадратных скобках? На плоскости это может обозначать "поворот на $90^\circ$"

[mr.tumkan2015]

Попробую чуть ослабить требования:

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x+a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y +a_y b_x c_y d_x+\operatorname{inv}(c\leftrightarrow b)$$

Более слабое требование:

$$a_y b_z c_y d_z + +a_z b_xc_z d_x+a_x b_yc_x d_y =a_z b_yc_z d_y+a_x b_zc_x d_z+a_y b_x c_y d_x$$

Перепишем иначе:

$$a_y c_y b_z d_z +a_zc_z b_x d_x+a_xc_x b_y d_y =a_zc_z b_yd_y+a_x c_xb_z d_z+a_y c_yb_x d_x$$

Перепишем иначе:

$$a_y c_y b_z d_z -a_zc_z b_yd_y+ a_zc_z b_x d_x-a_x c_xb_z d_z +a_xc_x b_y d_y-a_y c_yb_x d_x =0$$

$$\begin{vmatrix} a_y c_y& b_yd_y\\ a_zc_z& b_z d_z \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_x d_x& a_x c_x\\ b_z d_z& a_zc_z \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_xc_x& b_x d_x \\ a_y c_y& b_y d_y \\ \end{vmatrix}=0$$

$$\begin{vmatrix} a_y c_y& b_yd_y\\ a_zc_z& b_z d_z \\ \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a_x c_x&b_x d_x \\ a_zc_z&b_z d_z \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_xc_x& b_x d_x \\ a_y c_y& b_y d_y \\ \end{vmatrix}=0$$

Что-то это напоминает нечто вроде определителя такого (но не совсем такого)

$$ \begin{vmatrix} 1&1&1\\ a_xc_x& a_y c_y& b_x d_x \\ a_y c_y& a_zc_z& b_y d_y \\ \end{vmatrix}$$

Насчет тождества Якоби тогда еще завтра посмотрю, а то уже не соображаю...

[mr.tumkan2015]

Цитата:

Цитата:

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

Думаю, это надо использовать! Посмотрите, в "моем" тождестве вектор $\vec a$ все время остается на месте...
А зачем вы здесь:

mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):

$(\vec{f},[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{f},\vec{c}],[\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=$"

одиночные" векторы пишете в квадратных скобках? На плоскости это может обозначать "поворот на $90^\circ$"

Что-то пока не понял -- как использовать. Квадратные скобки случайно оставил, извините

[provincialka]

Ну, чтобы использовать надо сначала правильно записать! Тройного векторного произведения не бывает. Тут вы скобок недобрали. Запишите правильно, например для трех последних векторов, а потом умножьте скалярно на $\vec a$.

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080844 писал(а):

Ну, чтобы использовать надо сначала правильно записать! Тройного векторного произведения не бывает. Тут вы скобок недобрали. Запишите правильно, например для трех последних векторов, а потом умножьте скалярно на $\vec a$.

Спасибо. Но что именно написать? Я пока что даже идейно не понимаю -- что требуется.

$[\vec b,\vec c,\vec d]\cdot \vec a$

[provincialka]

Это же ваша идея:

mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=...=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])$

Только сдвинь корону набок уберите скобки у $\vec d$. А дальше можно переставлять элементы двойного векторного произведения (по Якоби) или свести к линейной комбинации по формуле БАЦ -- ЦАБ.

PS. Посмотрела: тройное векторное тоже бывает, но это неудобно: надо запоминать, в каком порядке применяются операции.

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080907 писал(а):

Это же ваша идея:

mr.tumkan2015 в сообщении #1080593 писал(а):

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=...=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])$

Только сдвинь корону набок уберите скобки у $\vec d$. А дальше можно переставлять элементы двойного векторного произведения (по Якоби) или свести к линейной комбинации по формуле БАЦ -- ЦАБ.

PS. Посмотрела: тройное векторное тоже бывает, но это неудобно: надо запоминать, в каком порядке применяются операции.

Спасибо!

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=...=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],\vec{d}])$

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{a}(\vec{b},\vec{c})-\vec{c}(\vec{a},\vec{b}),\vec{d}])=(\vec{b},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{c})-(\vec{a},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{b})$

Если $\vec{b}$ и $\vec{c}$ поменять местами, то вычитаемое останется неизменным, но нам нужно потребовать, чтобы

$(\vec{a},\vec{c})=(\vec{a},\vec{b})$

То есть проекция векторов $\vec{c}$ и $\vec{b}$ на вектор $\vec{a}$ совпадала. Верно ли?

[lek]

provincialka в сообщении #1080794 писал(а):

Кроме того, хорошо бы кто-то еще подключился: возможно, все это легко доказывается более "инвариантными" методами

$$ (a\times b)\cdot(c\times d)=((a\times b)\times c)\cdot d=(b(a\cdot c)-a(b\cdot c))\cdot d=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c) $$

Отсюда

$$ (a\times b)\cdot(c\times d)+(a\times c)\cdot(d\times b)+(a\times d)\cdot(b\times c)=0 $$

[provincialka]

lek
Спасибо! Но мы это уже вроде выяснили... Только ТС постоянно путается в обозначениях...

mr.tumkan2015 в сообщении #1080923 писал(а):

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{a}(\vec{b},\vec{c})-\vec{c}(\vec{a},\vec{b}),\vec{d}])=(\vec{b},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{c})-(\vec{a},\vec{c})\cdot (\vec{a},\vec{b})$

Опечатка! Куда $\vec d$ пропало?
О! тройное произведение должно раскладываться по $\vec a,\vec b$
И вообще запись неряшливая... у вас уже какое-то "четверное векторное произведение"!

-- 09.12.2015, 20:20 --

В этой задаче не очень ясно, что считать "хорошим" условием... Ну, намного"лучшим", чем исходное...

Думаю, используя тождество с тремя слагаемыми, можно свести всё к взаимному расположению плоскостей, натянутых на $\vec a,\vec d$ и на $\vec b, \vec c$.