2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:34 
Составить уравнение бисекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями $$3x-7y+z-3=0$$, $$x-9y-2z+5=0$$, в котором лежит точка $M(0;0;1)$

Изображение

Через векторное произвдение нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям, это вектор $(23;7;-20)$.

Можно найти линию пересечения этих плоскостей, решив систему из двух уравнений $3x-7y+z-3=0$, $x-9y-2z+5=0$,

Пока что дальше делать -- не очевидно.

Биссекторная плоскость - (от лат. bissector - «на двое рассекающий») плоскость выходящая из ребра двугранного угла, которая делит его на два равных двугранных угла.

Почему-то еще плохо отображаются уравнения, к сожалению

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:41 
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям
Маленькая проблемка: если вектор перпендикулярен нескольким плоскостям, у означенных плоскостей нет иного выбора как быть перпендикулярными этому самому вектору, сиречь параллельными друг другу...

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:44 
iifat в сообщении #1080608 писал(а):
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям
Маленькая проблемка: если вектор перпендикулярен нескольким плоскостям, у означенных плоскостей нет иного выбора как быть перпендикулярными этому самому вектору, сиречь параллельными друг другу...

Вы правы, я нашел направляющий вектор прямой, которая является линией пересечения плоскостей.

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:49 
А как, кстати говоря, посчитать величину угла между двумя плоскостями?

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 16:38 
Аватара пользователя
Подсказка: точки бисекторной плоскости равноудалены от сторон угла, для которого строится бисекторная плоскость.

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:45 
iifat в сообщении #1080610 писал(а):
А как, кстати говоря, посчитать величину угла между двумя плоскостями?

Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с градусной мерой линейного угла. Линейный угол -- это угол между перпендикулярами к линии пересечения.
Еще Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с углом между нормалями к этим плоскостям.
Но как это все поможет?

-- 08.12.2015, 18:49 --

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:49 
Аватара пользователя
mr.tumkan2015
Не надо градусов. Примените совет Brukvalub. Расстояние до плоскости находить умеете?

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:52 
Brukvalub в сообщении #1080625 писал(а):
Подсказка: точки бисекторной плоскости равноудалены от сторон угла, для которого строится бисекторная плоскость.


Хорошо, спасибо. Возьмем точку на искомой плоскости, обозначим ее координаты $M(x_0,y_0,z_0)$

Расстояние от точки $M(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $$3x-7y+z-3=0$$ равно $d=\dfrac{|3x_0-7y_0+z_0-3|}{\sqrt{9+49+1}}$

Расстояние от точки $M(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $$x-9y-2z+5=0$$ равно $d=\dfrac{|1x_0-9y_0-2z_0+5|}{\sqrt{1+81+4}}$

Тогда $\dfrac{|3x_0-7y_0+z_0-3|}{\sqrt{9+49+1}}=\dfrac{|1x_0-9y_0-2z_0+5|}{\sqrt{1+81+4}}$

Далее домножаем на эти корни и получаем уравнение плоскости, проделав тождественные преобразования?

Извините за формат, почему-то в одинарных долларах не отображается адекватно.

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:55 
Аватара пользователя
Как минимум, нужно убрать нолики и раскрыть модули так, чтобы попасть в тот угол, где
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
лежит точка $M(0;0;1)$

(вычисления я не проверял).

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 19:00 
Brukvalub в сообщении #1080663 писал(а):
Как минимум, нужно убрать нолики и раскрыть модули так, чтобы попасть в тот угол, где
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
лежит точка $M(0;0;1)$

(вычисления я не проверял).

Спасибо! А идейно -- верно ли?

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 19:08 
Аватара пользователя
Идейно - верно.

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 19:56 
Аватара пользователя
Правильность ответа, кстати, можно будет проверить эмпирически: взять две точки на прямой пересечения плоскостей из условия и проверить, лежат ли они на плоскости из ответа. Затем взять любую точку на плоскости из ответа (так, чтобы она не лежала на той прямой пересечения) и проверить, действительно ли расстояния от нее до заданных плоскостей равны.

Если все сошлось, можно откупорить бутылочку кьянти.

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение09.12.2015, 03:00 
mr.tumkan2015 в сообщении #1080654 писал(а):
Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с углом между нормалями к этим плоскостям.
Но как это все поможет?
Ну, если поразмыслить над вот этим последним определением, можно домыслиться и до вектора нормали к искомой плоскости, вообще-то.
provincialka в сообщении #1080658 писал(а):
Примените совет Brukvalub
Ну, на всякий случай: разумеется, есть много способов решить задачу. Выбор промеж ими — дело вкуса.
INGELRII в сообщении #1080697 писал(а):
Если все сошлось, можно откупорить бутылочку кьянти
Не стоит. Таких задач предстоит решить ещё столько, что если на каждую по бутылочке кьянти открывать... Не стоит, право же.

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение09.12.2015, 09:21 
Аватара пользователя
iifat

(Оффтоп)

Где же Вы были с этим советом, когда я учился в институте... эх...

 
 
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение07.12.2021, 06:47 
Уравнения биссекторных плоскостей двугранного угла получаются одно суммой, а другое разностью образующих угол плоскостей.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group