2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 17:30 


26/11/11
134
Мне задали тему реферата под названием "Энергетический функционал в уравнении теплопроводности". Информации в таком виде в интернете уже полторы недели не могу найти, с преподавателем разъяснить этот вопрос также не могу, потому что он в командировке, вот и думаю, может кто-то разбирается в этом вопросе...
Так как эту тему в таком виде не удалось найти в интернете, стал разбираться по отдельности, а именно в понятиях "функционал" и "уравнение теплопроводности".
Как я понял, функционал - это что-то вроде функции от функции
Уравнение теплопроводности ${\frac {\partial u} {\partial t} -a^2 \triangle u =f(r,t)}$
$f(r,t)$ - функция тепловых источников
$u$ температура в точке с заданными координатами $r,t$.
Вот насколько я помню, температура связана с энергией системы. Ну чем больше нагрето тело, тем больше его внутренняя энергия. Не может ли эта функция являться энергетическим функционалом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Imho:
Энергетический функционал - это такой функционал, который:
- на вход получает всю функцию $f(r)$ при заданном моменте времени $t,$ на выходе даёт число;
- и сохраняется по времени, аналогично сохранению энергии в обычных физических явлениях.

Вычислить его надо не по физическим аналогиям, а исходя из математического вида уравнения. Например, вместо уравнения теплопроводности могут дать какое-то другое абстрактное уравнение, и в нём тоже может найтись энергетический функционал.

Это вопрос на матфизику и теорию дифференциальных уравнений (сохраняющиеся величины, интегралы уравнений). Я так понимаю, необходимо что-то наподобие теоремы Нётер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 21:09 


27/02/09
2853
BAHOO в сообщении #1080636 писал(а):
Как я понял, функционал - это что-то вроде функции от функции
Уравнение теплопроводности ${\frac {\partial u} {\partial t} -a^2 \triangle u =f(r,t)}$
$f(r,t)$ - функция тепловых источников
$u$ температура в точке с заданными координатами $r,t$.
Вот насколько я помню, температура связана с энергией системы. Ну чем больше нагрето тело, тем больше его внутренняя энергия. Не может ли эта функция являться энергетическим функционалом?


Для стационарного уравнения теплопроводности (без $t$) речь почти наверняка о том, что оно (уравнение) считается дифференциальным уравнением Эйлера-Лагранжа, решение которого доставляет экстремум (необходимое условие) некоторому функционалу, который нужно найти, т.е., это, так сказать, обратная задача вариационного исчисления. Отсюда и название "энергетический"= экстремальный (минимум энергии и пр.). Зачем это нужно, затрудняюсь сказать, но по смыслу - ничего другого не пришьешь

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для стационарного - да, но тут-то не стационарное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 21:30 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Энергетический это вроде где градиент в квадрате под интегралом. Если взять правую часть нулевой, умножить уравнение на $u$ и проинтегрировать по $\mathbb R^n$ и от нуля до $t$, что-то получится. Насколько помню, оценки того интеграла и называются энергетическими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 21:55 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Метод энергетического функционала есть в электростатике.
Задача определения поля в системе с проводниками где граничные условия - либо потенциалы на поверхностях, либо нормальные производные (напряженности) - эта задача эквивалентна задаче минимизации электростатической энергии (с данными граничными условиями). Отсюда название метода. Глубокого смысла здесь нет, но используется в численных методах - конечных элементов и (может быть, не уверен) Галеркина.
Насчет теплопроводности ничего не знаю, но может быть речь идет о стационарной задаче (из сообщения ТС не ясно). Тогда это эквивалентно

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 22:11 


27/02/09
2853
AnatolyBa в сообщении #1080744 писал(а):
Тогда это эквивалентно

Теплопроводность, очевидно, посложнее будет, за счет распределенных источников и стоков, зависящих в общем случае от $u(r)$ (напр., излучение $\sim u(r)^4$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 22:35 
Заслуженный участник


21/09/15
998
В электростатике распределенные источники тоже есть и учитываются некоторой модификацией. А вот стоки вроде излучения, это да, усложнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11481
Hogtown
В принципе речь может идти о сохраняющемся
$$\int_{\mathbb{R}} u(x,t)\,dx$$
и невозрастающем
$$\int_{\mathbb{R}} u^2(x,t)\,dx.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение08.12.2015, 23:34 


26/11/11
134
Munin, спасибо, а я просто думал, что под понятием "энергетического потенциала" имеется в виду некий функционал энергии. Сегодня попробую ещё поразбираться. На всякий случай посмотрю предложенный druggist`ом вариант

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение09.12.2015, 06:52 
Заслуженный участник


28/12/12
7992
Munin в сообщении #1080737 писал(а):
Для стационарного - да, но тут-то не стационарное...

Я встречал такую формулировку, основанную на приципе возрастания энтропии ($e$ - плотность внутренней энергии, в простейшем случае $e=C_PT$, $M$ - подвижность (теплопроводность)):
$$\dfrac{\partial e}{\partial t}=-\nabla\cdot\left(M\nabla\dfrac{\delta}{\delta e}\left(\int\dfrac{e}{T}\,dV\right)\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение09.12.2015, 10:02 
Заслуженный участник


28/12/12
7992
Это без источников. Источники, видимо, должны просто добавляться в правую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение09.12.2015, 10:32 


27/02/09
2853
Vince Diesel в сообщении #1080738 писал(а):
Энергетический это вроде где градиент в квадрате под интегралом

Я имел в виду не только квадрат градиента. Рассмотрим пример для простоты одномерный:
$$u''_{xx}=Q(x) +\sigma \cdot u^4,$$
где в правой части распределенные источники и "стоки"(за счет излучения, напр., в вакууме) температуры. Тогда, если я не ошибаюсь, подинтегральное выражение, т.е., энергетический функционал будет:
$$F(u, u')=\dfrac{1}{2}u'_{x}^2+u'_{x}\int\limits_{}^{x}Q(t)dt + \dfrac{1}{5}\sigma\cdot u^5$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение09.12.2015, 19:19 


26/11/11
134
druggist в сообщении #1080836 писал(а):
Я имел в виду не только квадрат градиента. Рассмотрим пример для простоты одномерный:
$$u''_{xx}=Q(x) +\sigma \cdot u^4,$$
где в правой части распределенные источники и "стоки"(за счет излучения, напр., в вакууме) температуры. Тогда, если я не ошибаюсь, подинтегральное выражение, т.е., энергетический функционал будет:
$$F(u, u')=\dfrac{1}{2}u'_{x}^2+u'_{x}\int\limits_{}^{x}Q(t)dt + \dfrac{1}{5}\sigma\cdot u^5$$


Немного не уловил связь. Вы имели в виду взятие градиента всей функции, дальше его возвести в квадрат и от него интеграл? Просто чисто зрительно не похоже, чтобы конечная функция была бы результатом такого преобразования исходной. Ну степени низкие слишком. А вот если взять просто интеграл, то что-то похожее получается, но не совсем так

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергетический функционал в уравнении теплопроводности
Сообщение09.12.2015, 20:33 


27/02/09
2853
BAHOO в сообщении #1080952 писал(а):
Вы имели в виду взятие градиента всей функции, дальше его возвести в квадрат и от него интеграл?

Нет, я просто на примере показал, что имел в виду в своем первом посте. Как известно, уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид:
$$F'_y-\dfrac{d}{dx}F'_{y'}=0$$
Возьмите $F(u,u')$ в том виде, котором я написал и получите тождество (в смысле, исходное уравнение, возможно, в знаках напортачил). Но это только, сами понимаете, интерпретация смысла терминов, для чего это может понадобиться, понятия не имею.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lel0lel


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group