Энергетический функционал в уравнении теплопроводности

[BAHOO]

Мне задали тему реферата под названием "Энергетический функционал в уравнении теплопроводности". Информации в таком виде в интернете уже полторы недели не могу найти, с преподавателем разъяснить этот вопрос также не могу, потому что он в командировке, вот и думаю, может кто-то разбирается в этом вопросе...
Так как эту тему в таком виде не удалось найти в интернете, стал разбираться по отдельности, а именно в понятиях "функционал" и "уравнение теплопроводности".
Как я понял, функционал - это что-то вроде функции от функции
Уравнение теплопроводности ${\frac {\partial u} {\partial t} -a^2 \triangle u =f(r,t)}$
$f(r,t)$ - функция тепловых источников
$u$ температура в точке с заданными координатами $r,t$.
Вот насколько я помню, температура связана с энергией системы. Ну чем больше нагрето тело, тем больше его внутренняя энергия. Не может ли эта функция являться энергетическим функционалом?

[Munin]

Imho:
Энергетический функционал - это такой функционал, который:
- на вход получает всю функцию $f(r)$ при заданном моменте времени $t,$ на выходе даёт число;
- и сохраняется по времени, аналогично сохранению энергии в обычных физических явлениях.

Вычислить его надо не по физическим аналогиям, а исходя из математического вида уравнения. Например, вместо уравнения теплопроводности могут дать какое-то другое абстрактное уравнение, и в нём тоже может найтись энергетический функционал.

Это вопрос на матфизику и теорию дифференциальных уравнений (сохраняющиеся величины, интегралы уравнений). Я так понимаю, необходимо что-то наподобие теоремы Нётер.

[druggist]

BAHOO в сообщении #1080636 писал(а):

Как я понял, функционал - это что-то вроде функции от функции
Уравнение теплопроводности ${\frac {\partial u} {\partial t} -a^2 \triangle u =f(r,t)}$
$f(r,t)$ - функция тепловых источников
$u$ температура в точке с заданными координатами $r,t$.
Вот насколько я помню, температура связана с энергией системы. Ну чем больше нагрето тело, тем больше его внутренняя энергия. Не может ли эта функция являться энергетическим функционалом?

Для стационарного уравнения теплопроводности (без $t$) речь почти наверняка о том, что оно (уравнение) считается дифференциальным уравнением Эйлера-Лагранжа, решение которого доставляет экстремум (необходимое условие) некоторому функционалу, который нужно найти, т.е., это, так сказать, обратная задача вариационного исчисления. Отсюда и название "энергетический"= экстремальный (минимум энергии и пр.). Зачем это нужно, затрудняюсь сказать, но по смыслу - ничего другого не пришьешь

[Munin]

Для стационарного - да, но тут-то не стационарное...

[Vince Diesel]

Энергетический это вроде где градиент в квадрате под интегралом. Если взять правую часть нулевой, умножить уравнение на $u$ и проинтегрировать по $\mathbb R^n$ и от нуля до $t$, что-то получится. Насколько помню, оценки того интеграла и называются энергетическими.

[AnatolyBa]

Метод энергетического функционала есть в электростатике.
Задача определения поля в системе с проводниками где граничные условия - либо потенциалы на поверхностях, либо нормальные производные (напряженности) - эта задача эквивалентна задаче минимизации электростатической энергии (с данными граничными условиями). Отсюда название метода. Глубокого смысла здесь нет, но используется в численных методах - конечных элементов и (может быть, не уверен) Галеркина.
Насчет теплопроводности ничего не знаю, но может быть речь идет о стационарной задаче (из сообщения ТС не ясно). Тогда это эквивалентно

[druggist]

AnatolyBa в сообщении #1080744 писал(а):

Тогда это эквивалентно

Теплопроводность, очевидно, посложнее будет, за счет распределенных источников и стоков, зависящих в общем случае от $u(r)$ (напр., излучение $\sim u(r)^4$)

[AnatolyBa]

В электростатике распределенные источники тоже есть и учитываются некоторой модификацией. А вот стоки вроде излучения, это да, усложнение.

[Red_Herring]

В принципе речь может идти о сохраняющемся

$$\int_{\mathbb{R}} u(x,t)\,dx$$

и невозрастающем

$$\int_{\mathbb{R}} u^2(x,t)\,dx.$$

[BAHOO]

Munin, спасибо, а я просто думал, что под понятием "энергетического потенциала" имеется в виду некий функционал энергии. Сегодня попробую ещё поразбираться. На всякий случай посмотрю предложенный druggist`ом вариант

[DimaM]

Munin в сообщении #1080737 писал(а):

Для стационарного - да, но тут-то не стационарное...

Я встречал такую формулировку, основанную на приципе возрастания энтропии ($e$ - плотность внутренней энергии, в простейшем случае $e=C_PT$, $M$ - подвижность (теплопроводность)):

$$\dfrac{\partial e}{\partial t}=-\nabla\cdot\left(M\nabla\dfrac{\delta}{\delta e}\left(\int\dfrac{e}{T}\,dV\right)\right).$$

[DimaM]

Это без источников. Источники, видимо, должны просто добавляться в правую часть.

[druggist]

Vince Diesel в сообщении #1080738 писал(а):

Энергетический это вроде где градиент в квадрате под интегралом

Я имел в виду не только квадрат градиента. Рассмотрим пример для простоты одномерный:

$$u''_{xx}=Q(x) +\sigma \cdot u^4,$$

где в правой части распределенные источники и "стоки"(за счет излучения, напр., в вакууме) температуры. Тогда, если я не ошибаюсь, подинтегральное выражение, т.е., энергетический функционал будет:

$$F(u, u')=\dfrac{1}{2}u'_{x}^2+u'_{x}\int\limits_{}^{x}Q(t)dt + \dfrac{1}{5}\sigma\cdot u^5$$

[BAHOO]

druggist в сообщении #1080836 писал(а):

Я имел в виду не только квадрат градиента. Рассмотрим пример для простоты одномерный:

$$u''_{xx}=Q(x) +\sigma \cdot u^4,$$

где в правой части распределенные источники и "стоки"(за счет излучения, напр., в вакууме) температуры. Тогда, если я не ошибаюсь, подинтегральное выражение, т.е., энергетический функционал будет:

$$F(u, u')=\dfrac{1}{2}u'_{x}^2+u'_{x}\int\limits_{}^{x}Q(t)dt + \dfrac{1}{5}\sigma\cdot u^5$$

Немного не уловил связь. Вы имели в виду взятие градиента всей функции, дальше его возвести в квадрат и от него интеграл? Просто чисто зрительно не похоже, чтобы конечная функция была бы результатом такого преобразования исходной. Ну степени низкие слишком. А вот если взять просто интеграл, то что-то похожее получается, но не совсем так

[druggist]

BAHOO в сообщении #1080952 писал(а):

Вы имели в виду взятие градиента всей функции, дальше его возвести в квадрат и от него интеграл?

Нет, я просто на примере показал, что имел в виду в своем первом посте. Как известно, уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид:

$$F'_y-\dfrac{d}{dx}F'_{y'}=0$$

Возьмите $F(u,u')$ в том виде, котором я написал и получите тождество (в смысле, исходное уравнение, возможно, в знаках напортачил). Но это только, сами понимаете, интерпретация смысла терминов, для чего это может понадобиться, понятия не имею.