Две медианы и точка. Найти координаты вершин.

[mr.tumkan2015]

Одна из вершин треугольника имеет координаты $A(2;-5)$, а уравнения медиан: $4x+5y=0$, $x-3y=0$

Найти координаты вершин.

Точка пересечения медиан $O(0;0)$ (очевидно). Далее можно найти уравнение третьей медианы, получается $y=-2,5x$.

$\overline{AO}=(-2;5)$

Тогда пусть медиана $AO$ пересекает $BC$ в точке $M$, тогда $\overline{AM}=1,5\overline{AO}=(-3;7,5)$

Тогда $\overline{OM}=\overline{AM}-\overline{AO}=(-1;2,5)$, получаем $M(-1;2,5)$

Пока что больше не удалось ничего найти...

[iifat]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080599 писал(а):

Одна из вершин треугольника имеет координаты $A(2;-5)$, а уравнения сторон: $4x+5y=0$, $x-3y=0$

Вершина треугольника не лежит на двух сторонах? «Нет, сынок, это фантастика».

-- 08.12.2015, 22:37 --

Судя по расхождению темы и условия задачи, где-то тут ошибка.

[mr.tumkan2015]

Да, спасибо, исправил слово "сторон" на "медиан"

[iifat]

Ну, коли речь идёт об аналитической геометрии, обозначьте как-нить координаты вершин и напишите уже каких-нить уравнений.

[provincialka]

Если $N$ -- середина стороны $AC$, лежит на первой прямой. Тогда $C$ лежит на второй, причем $\vec N = (\vec A + \vec C)/2$. Здесь точки заменены векторами "выпущеными" из начала координат.

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080633 писал(а):

Если $N$ -- середина стороны $AC$, лежит на первой прямой. Тогда $C$ лежит на второй, причем $\vec N = (\vec A + \vec C)/2$. Здесь точки заменены векторами "выпущеными" из начала координат.

Спасибо! Но мы ведь не знаем вектор $\vec{C}$! Разве это поможет?

-- 08.12.2015, 19:07 --

iifat в сообщении #1080612 писал(а):

Ну, коли речь идёт об аналитической геометрии, обозначьте как-нить координаты вершин и напишите уже каких-нить уравнений.

Нужно создать 4 уравнения с 4 неизвестными? Я по крайней мере для каждой из оставшихся вершин вижу только по одному уравнению -- по уравнению прямой.

$B(x_1,y_1)$, $C(x_2;y_2)$

[provincialka]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080671 писал(а):

Спасибо! Но мы ведь не знаем вектор $\vec{C}$! Разве это поможет?

Естественно, не знаем. Его и надо найти. Вот и обозначьте его координаты $(x,y)$. Они удовлетворяют уравнению $x-3y=0$. А теперь выразите через них координаты точки $N$ и подставьте в первое уравнение.

Впрочем, это только один из многих путей решения. Но, как мне кажется, наиболее "прямой".

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080717 писал(а):

mr.tumkan2015 в сообщении #1080671 писал(а):

Спасибо! Но мы ведь не знаем вектор $\vec{C}$! Разве это поможет?

Естественно, не знаем. Его и надо найти. Вот и обозначьте его координаты $(x,y)$. Они удовлетворяют уравнению $x-3y=0$. А теперь выразите через них координаты точки $N$ и подставьте в первое уравнение.

Впрочем, это только один из многих путей решения. Но, как мне кажется, наиболее "прямой".

Спасибо!

Первое уравнение $x-3y=0$.

Второе уравнение $\dfrac{x-2}{2}-3\cdot\dfrac{y+5}{2}=0$.

Решая систему уравнений, находим координаты точки $C$, аналогично с точкой $B$, верно ли?

[provincialka]

Нет. Откуда такое второе уравнение?
Во-первых, вам надо не ту прямую использовать. А во-вторых как-то странно вы середину отрезка находите...

[mr.tumkan2015]

Спасибо, исправляюсь!

Первое уравнение $x-3y=0$.

Второе уравнение $4\dfrac{x+2}{2}+5\cdot\dfrac{y-5}{2}=0$.

Решая систему уравнений, находим координаты точки $C$, аналогично с точкой $B$, верно ли?

[provincialka]

Так. Ответы-то хоть "хорошие" получились? Вроде, должны....

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080796 писал(а):

Так. Ответы-то хоть "хорошие" получились? Вроде, должны....

$C(3;1)$ получилось!
Спасибо, разобрался с этой задачей! (понял как делать)