Скалярное, векторное произведение.

[mr.tumkan2015]

Найти условие, при котором

$([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{a},\vec{c}],[\vec{b},\vec{d}])$

Обозначим $[\vec{a},\vec{b}]=\vec{f}$

Используя свойство смешанного произведения

$(\vec{f},[\vec{c},\vec{d}])=([\vec{f},\vec{c}],[\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{b}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=$

$=-([[\vec{c},\vec{a}],[\vec{b},\vec{d}])=([[\vec{a},\vec{c}],[\vec{b},\vec{d}])$

Верно ли это?

[iifat]

У вас что, тождество, что ли получилось? А вот если взять частный случай $\vec a=\vec b$, что получится?

[mr.tumkan2015]

iifat в сообщении #1080614 писал(а):

У вас что, тождество, что ли получилось? А вот если взять частный случай $\vec a=\vec b$, что получится?

Спасибо, да получается ерунда тогда, с одной стороны ноль, с другой, вполне может быть не ноль. Но ошибку не могу найти никак.

[Munin]

Как у вас получилось равенство, на котором вы сделали перенос строки?

[Null]

$-([[\vec{b},\vec{a}],\vec{c}],[\vec{d}])=-([\vec{c},\vec{a}],[\vec{b},\vec{d}])$ - странное равенство

[provincialka]

О уже двое написали! Ну я до кучи, чтобы не пропадало:
Четвертое равенство в цепочке. Как $a$ и $b$ "выскочили" из своего векторного произведения?

[mr.tumkan2015]

Спасибо!

Я думал там можно делать циклическую перестановку! Видимо для двойного векторного произведения нет такого свойства

А может просто условие должно быть $\vec{b}=\vec{c}$ да и все? Нужно ли это доказывать?

[Munin]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080667 писал(а):

Я думал там можно делать циклическую перестановку! Видимо для двойного векторного произведения нет такого свойства

Именно! Совершенно нет!!!

[mr.tumkan2015]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080667 писал(а):

А может просто условие должно быть $\vec{b}=\vec{c}$ да и все? Нужно ли это доказывать?

А это верно?

[provincialka]

Чисто координатным методом получилось тождество $([a,b],[c,d])+([a,c],[d,b])+([a,d],[b,c]) =0$ (надо перепроверить)
Сумма первых двух слагаемых перестановкой сводится к разности $([a,b],[c,d])-([a,c],[b,d])$ исследуемых выражений.

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080748 писал(а):

Чисто координатным методом получилось тождество $([a,b],[c,d])+([a,c],[d,b])+([a,d],[b,c]) =0$ (надо перепроверить)

А как именно вы так получили чисто координатным методом? Что нужно делать после введения системы координат? А не тождество ли Якоби это?)

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби

$\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,$

provincialka в сообщении #1080748 писал(а):

Сумма первых двух слагаемых перестановкой сводится к разности $([a,b],[c,d])-([a,c],[b,d])$ исследуемых выражений.

То есть условие -- это $([a,d],[b,c]) =0$, правильно?

[provincialka]

Проверьте счет...

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080779 писал(а):

Проверьте счет...

А как именно вы так получили чисто координатным методом? Что нужно делать после введения системы координат?

[provincialka]

Ну... записать в координатах векторное и скалярное произведения... Я, правда, внимательно не смотрела... Это же не моя задача...
Проверила частично, произведение первых координат...

[mr.tumkan2015]

Спасибо! Не уж-то вот так имеется ввиду?

$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x)$

$[ \mathbf c,\; \mathbf d ] = (c_y d_z - c_z d_y,\; c_z d_x - c_x d_z,\; c_x d_y - c_y d_x)$

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=(a_y b_z - a_z b_y)(c_y d_z - c_z d_y)+(a_z b_x - a_x b_z)(c_z d_x - c_x d_z)+(a_x b_y - a_y b_x)(c_x d_y - c_y d_x)$$

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z (c_y d_z - c_z d_y)- a_z b_y(c_y d_z - c_z d_y)+a_z b_x(c_z d_x - c_x d_z) - a_x b_z(c_z d_x - c_x d_z)+$$

$$+a_x b_y(c_x d_y - c_y d_x) - a_y b_x(c_x d_y - c_y d_x)$$

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z - a_y b_z c_z d_y- a_z b_yc_y d_z + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x - a_z b_xc_x d_z -$$

$$- a_x b_zc_z d_x +a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y - a_x b_yc_y d_x - a_y b_xc_x d_y +a_y b_x c_y d_x$$

-- 09.12.2015, 00:33 --

Аналогично можно расписать $([\vec{a},\vec{c}],[\vec{b},\vec{d}])$. Наверное, есть способ попроще...

-- 09.12.2015, 00:36 --

Хотя... тут просто переобозначение, вроде...

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y c_z b_y d_z - a_y c_z b_z d_y- a_z c_yb_y d_z + a_z c_yb_z d_y+a_z c_xb_z d_x - a_z c_xb_x d_z -$$

$$- a_x c_zb_z d_x +a_x c_zb_x d_z+a_x c_yb_x d_y - a_x c_yb_y d_x - a_y c_xb_x d_y +a_y c_x b_y d_x$$

-- 09.12.2015, 00:39 --

Я понял, что удобнее внимательно присмотреться и делать перестановочки

-- 09.12.2015, 00:47 --

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z - (a_y b_z c_z d_y)- (a_z b_yc_y d_z) + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x - (a_z b_xc_x d_z )-$$

$$- (a_x b_zc_z d_x) +a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y - (a_x b_yc_y d_x) - (a_y b_xc_x d_y) +a_y b_x c_y d_x$$

В скобке взял инварианты относительно переобозначения.

$$[ \mathbf a,\; \mathbf b ] \cdot [ \mathbf c,\; \mathbf d ]=a_y b_z c_y d_z + a_z b_yc_z d_y+a_z b_xc_z d_x+a_x b_zc_x d_z+a_x b_yc_x d_y +a_y b_x c_y d_x+\operatorname{inv}(c\leftrightarrow b)$$

Выписываю условия, на мой взгляд, подходящие:

$a_yd_z =a_z d_y, \;\;a_z d_x=a_x d_z,\;\; a_x d_y=a_y d_x$

А это ничто иное, как тоже самое, что $[ \mathbf a,\; \mathbf d ]=0$

Правильно? Хотя бы идейно?