Расширяющийся шар с полем

[2serg2]

Задача:
1)записать первый закон термодинамики для шара радиуса $r(t) = a(t)r_0$ c ЭМ излучением в условиях однородного Евклидова пространства. Вычислить закон, по которорому убывает плотность энергии ЭМ поля как функция $a(t)$.
2)записать закон сохранения энергии для пробной релятивистской частицы массы $m$, которая находится на шаре радиуса $t(t)$ под действием гравитационных сил, создаваемых массой, равной энергии свободных ЭМ волн внутри шара. Вычислить $a(t)$. Также сказано, что ($r_0 \to 0 \Rightarrow v'(t)=a'(t)r_0 \to 0$)
Решение:
$P=\frac{\rho}{3}$ -это положим известным ($\rho$ - плотность энергии)
$dU=-PdV, \ dU = d(\rho V) = \rho dV + V d\rho \Rightarrow V d \rho = -\frac{4}{3} \rho dV $
Интегрируя, получаем: $\rho = \frac{C}{a^4(t) r_0^4}$

Со вторым пунктом возникают проблемы:

$E=\frac{mv^2}{2} - G \frac{Mm}{r} + \frac{1}{2} m(a'(t))^2r_0^2 = \operatorname{const} $

$\frac{mv^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2} \Rightarrow E = -\frac{1}{2}G\frac{Mm}{r} + \frac{1}{2}(a'(t))^2r_0^2 $

Подставляя полученные выражения для $M=\rho V$, получаем:

$-\frac{2}{3} Gm\pi \frac{C}{a^2(t)r_0^2} a'(t)+\frac{1}{2}mr_0^2(a'(t))^2=\operatorname{const}$

Дифференцируя, получаем:

$\frac{4}{3} Gm\pi \frac{C}{a^3(t)r_0^2}a'(t) + mr_0^2a'(t)a''(t)=0$

Получается неправильно(несмотря на то, что уравнение решается), подскажите - что делаю неправильно.

[Pphantom]

2serg2 в сообщении #1080446 писал(а):

2)записать закон сохранения энергии для пробной релятивистской частицы массы $m$, которая находится на шаре радиуса $t(t)$ под действием гравитационных сил, создаваемых массой, равной энергии свободных ЭМ волн внутри шара.

Какая-то предельно корявая формулировка... Это, случаем, не попытка сделать простенькую космологическую модель?

2serg2 в сообщении #1080446 писал(а):

$dU=-PdV, \ dU = d(\rho V) = \rho dV + V d\rho \Rightarrow V d \rho = -\frac{4}{3} \rho dV $

А почему Вы рассматриваете адиабатический процесс? Из условия задачи это не следует.

2serg2 в сообщении #1080446 писал(а):

Со вторым пунктом возникают проблемы:

Раз частица релятивистская, то выражение для кинетической энергии выглядит иначе. Насколько тут применим закон всемирного тяготения, неясно, но будем считать, что из условия задачи это следует. Ну и задача явно недоформулирована.

[2serg2]

Поправка:
1)да, это именно попытка сделать модель
2)адиабатический - по условию
3)частица нерелятивистская, опечатка произошла

[Pphantom]

Ясно. Тогда какой смысл Вы вкладываете в каждый из членов того, что считается законом сохранения энергии?

[2serg2]

Гравитационный потенциал, кинетическая энергия вращения и расширения(граница шара движется).
Не могли бы Вы сказать, в чем ошика.

[Geen]

2serg2 в сообщении #1080463 писал(а):

адиабатический - по условию

А у нас ЭМ излучение находится в термодинамическом равновесии само с собой?

[2serg2]

Geen в сообщении #1080470 писал(а):

2serg2 в сообщении #1080463 писал(а):

адиабатический - по условию

А у нас ЭМ излучение находится в термодинамическом равновесии само с собой?

Я не знаю, с чем оно в равновесии - сказано, что процесс расширения адиабатический, вот я и применяю то, что нужно. Мне нужно узнать, в чем ошика в записи ЗСЭ так как первый пункт решен верно.

[Geen]

2serg2 в сообщении #1080474 писал(а):

Я не знаю, с чем оно в равновесии

2serg2 в сообщении #1080446 писал(а):

записать первый закон термодинамики для шара радиуса $r(t) = a(t)r_0$

А что такое здесь $a(t)$? - произвольная функция? можно её положить константой?

[Pphantom]

2serg2 в сообщении #1080467 писал(а):

кинетическая энергия вращения

Вращения чего?

2serg2 в сообщении #1080467 писал(а):

расширения(граница шара движется)

А все остальное?

Не обижайтесь, но складывается впечатление, что Вы что-то делаете, не очень понимая, что именно. Иногда получается удачно, иногда - нет. Опишите решение нормально, с пояснениями, откуда и почему появляется тот или иной промежуточный результат.

И, кстати, перед этим полезно было бы сформулировать условие задачи полностью. А то вот адиабатичность откуда-то уже появилась, вращение...

[2serg2]

Pphantom в сообщении #1080477 писал(а):

2serg2 в сообщении #1080467 писал(а):

кинетическая энергия вращения

Вращения чего?

2serg2 в сообщении #1080467 писал(а):

расширения(граница шара движется)

А все остальное?

Не обижайтесь, но складывается впечатление, что Вы что-то делаете, не очень понимая, что именно. Иногда получается удачно, иногда - нет. Опишите решение нормально, с пояснениями, откуда и почему появляется тот или иной промежуточный результат.

И, кстати, перед этим полезно было бы сформулировать условие задачи полностью. А то вот адиабатичность откуда-то уже появилась, вращение...

Задача очень большая, я решил первые несколько пунктов, затруднение в следующем:
записать ЗСЭ для точки, находящейся на сфере, которая расширяется по закону $r=a(t)r_0$, a(t) не константа.
Я записал ЗСЭ, в него вошли: гравитационная часть, радиальная кинетическая энергия(из-за расширения шара) и кинетическая энергия, относящаясь к движению точки по сфере. Потом я исключаю кинетическую энергия движения по сфере с помощью уравнения баланса и центробежной силы. Где-то здесь я допускаю ошибку, так как уравнение неправильное получается.

Функция $a(t)$ должна получиться пропорциональной степени $t$.

Еще раз повторюсь, что затруднение вызывает именно механика,а не термодинамика или теорпол

[Munin]

Со второй задачей, можно посмотреть, как аналогичная рассмотрена в ЛЛ-2 в конце § 114.

[2serg2]

Munin в сообщении #1080487 писал(а):

Со второй задачей, можно посмотреть, как аналогичная рассмотрена в ЛЛ-2 в конце § 114.

А как называется параграф - красное смещение?
Я там читал до этого релятивистскую космологию, но он по-другому решает как-то. Тут нужно именно через ЗСЭ