О ранге присоединенной матрицы

[GrandCube]

Пожалуйста, помогите разобраться со следующим заданием. Известно, что $r(A)<n$, чему тогда может равняться $r(\tilde{A})$? Подскажите пожалуйста путь размышления. Использовать ли тут теорему о ранге произведения или о том, что ранг равен наибольшему порядку отличного от нуля минора? Кажется, что ситуация с рангом тут неоднозначная.
Или использовать соотношение $A\tilde{A}=\left\lvert A \right\rvert E$?
P.S. Под присоединенной матрицей понимаю матрицу, составленную из алгебраических дополнений. Если не ошибаюсь, она же союзная.

[Xaositect]

Для начала можно посмотреть, что будет если ранг очень маленький. Можете ли Вы сказать, чему будет в этом случае равна $\tilde{A}$?

[popolznev]

Очевидно, у вас $A$ - квадратная матрица порядка $n$? Тогда равенства $A \tilde A = |A|E$ у нас нет, матрица-то не обратима.

[Lia]

GrandCube
Можно узнать, кто такой $n$?

[GrandCube]

popolznev, да, именно такая. Простите, что не указал в условии.
Lia, n-порядок матрицы, натуральное число.
Xaositect, если ранг очень маленький, то все миноры будут 0?

[Dmitry Tkachenko]

GrandCube, покажите, что $r(AB) \geqslant r(A)+r(B)-n,$ где $A,B$ матрицы $n \times n.$ Далее, нужно показать, что при $r(A)=n-1$ имеем $r(\operatorname{adj}A)=1$ и при $r(A)\leqslant n-2$ имеем $r(\operatorname{adj}A)=0.$

[Xaositect]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1080309 писал(а):

Xaositect, если ранг очень маленький, то все миноры будут 0?

Именно. До какого конкретно ранга так будет?

[provincialka]

popolznev в сообщении #1080292 писал(а):

Тогда равенства $A \tilde A = |A|E$ у нас нет, матрица-то не обратима.

Разве нет? Просто правая часть равна нулевой матрице, ведь $\det(A)=0$.

[GrandCube]

До $n-1$. А что будет при $n-1$? При n ранг будет n, насколько я понимаю

[Dmitry Tkachenko]

popolznev, всегда справедливо $\operatorname{adj} A \cdot A = \det A \cdot E,$ где $A, E$ матрицы $n \times n.$

-- 07.12.2015, 16:03 --

GrandCube

Dmitry Tkachenko в сообщении #1080309 писал(а):

при $r(A)=n-1$ имеем $r(\operatorname{adj}A)=1$

[GrandCube]

А можете, пожалуйста, объяснить случай при $n-1$? Почему 1? Остальное ясно в принципе.

[provincialka]

Может, вспомнить про связь ранга и зависимости/независимости столбцов?

[Dmitry Tkachenko]

GrandCube в сообщении #1080321 писал(а):

А можете, пожалуйста, объяснить случай при $n-1$? Почему 1?

Могу дать подсказку: $r(A)=n-1, \det A=0, \operatorname{adj} A \cdot A = O,$ где $O$ нулевая матрица $n\times n.$ Далее рассмотрите линейный оператор $\varphi$, соответствующий матрице $A.$ Из равенства $\operatorname{adj} A \cdot A = O$ ясно, что ранг $\operatorname{adj} A$ находится в $\ker \varphi.$ Покажите, что размерность ядра $\dim \ker \varphi$ сейчас либо $0,$ либо $1.$ Тогда $r(\operatorname{adj} A)$ либо $0,$ либо $1.$ Покажите, что $0$ быть не может.

[GrandCube]

Хорошо, разобрался, всем спасибо!

[popolznev]

provincialka в сообщении #1080312 писал(а):

popolznev в сообщении #1080292 писал(а):

Тогда равенства $A \tilde A = |A|E$ у нас нет, матрица-то не обратима.

Разве нет? Просто правая часть равна нулевой матрице, ведь $\det(A)=0$.

А, да, верно-верно, пардон.