2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:18 


20/09/15
49
Пожалуйста, помогите разобраться со следующим заданием. Известно, что $r(A)<n$, чему тогда может равняться $r(\tilde{A})$? Подскажите пожалуйста путь размышления. Использовать ли тут теорему о ранге произведения или о том, что ранг равен наибольшему порядку отличного от нуля минора? Кажется, что ситуация с рангом тут неоднозначная.
Или использовать соотношение $A\tilde{A}=\left\lvert A \right\rvert E$?
P.S. Под присоединенной матрицей понимаю матрицу, составленную из алгебраических дополнений. Если не ошибаюсь, она же союзная.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Для начала можно посмотреть, что будет если ранг очень маленький. Можете ли Вы сказать, чему будет в этом случае равна $\tilde{A}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:27 
Аватара пользователя


14/10/13
335
Очевидно, у вас $A$ - квадратная матрица порядка $n$? Тогда равенства $A \tilde A = |A|E$ у нас нет, матрица-то не обратима.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:28 
Модератор


20/03/14
11520
GrandCube
Можно узнать, кто такой $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:49 


20/09/15
49
popolznev, да, именно такая. Простите, что не указал в условии.
Lia, n-порядок матрицы, натуральное число.
Xaositect, если ранг очень маленький, то все миноры будут 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:51 


11/07/14
132
GrandCube, покажите, что $r(AB) \geqslant r(A)+r(B)-n,$ где $A,B$ матрицы $n \times n.$ Далее, нужно показать, что при $r(A)=n-1$ имеем $r(\operatorname{adj}A)=1$ и при $r(A)\leqslant n-2$ имеем $r(\operatorname{adj}A)=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Dmitry Tkachenko в сообщении #1080309 писал(а):
Xaositect, если ранг очень маленький, то все миноры будут 0?
Именно. До какого конкретно ранга так будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
popolznev в сообщении #1080292 писал(а):
Тогда равенства $A \tilde A = |A|E$ у нас нет, матрица-то не обратима.

Разве нет? Просто правая часть равна нулевой матрице, ведь $\det(A)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 17:03 


20/09/15
49
До $n-1$. А что будет при $n-1$? При n ранг будет n, насколько я понимаю

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 17:03 


11/07/14
132
popolznev, всегда справедливо $\operatorname{adj} A \cdot A = \det A \cdot E,$ где $A, E$ матрицы $n \times n.$

-- 07.12.2015, 16:03 --

GrandCube
Dmitry Tkachenko в сообщении #1080309 писал(а):
при $r(A)=n-1$ имеем $r(\operatorname{adj}A)=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 17:14 


20/09/15
49
А можете, пожалуйста, объяснить случай при $n-1$? Почему 1? Остальное ясно в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Может, вспомнить про связь ранга и зависимости/независимости столбцов?

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 17:52 


11/07/14
132
GrandCube в сообщении #1080321 писал(а):
А можете, пожалуйста, объяснить случай при $n-1$? Почему 1?
Могу дать подсказку: $r(A)=n-1, \det A=0, \operatorname{adj} A \cdot A = O,$ где $O$ нулевая матрица $n\times n.$ Далее рассмотрите линейный оператор $\varphi$, соответствующий матрице $A.$ Из равенства $\operatorname{adj} A \cdot A = O$ ясно, что ранг $\operatorname{adj} A$ находится в $\ker \varphi.$ Покажите, что размерность ядра $\dim \ker \varphi$ сейчас либо $0,$ либо $1.$ Тогда $r(\operatorname{adj} A)$ либо $0,$ либо $1.$ Покажите, что $0$ быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 18:18 


20/09/15
49
Хорошо, разобрался, всем спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: О ранге присоединенной матрицы
Сообщение07.12.2015, 18:28 
Аватара пользователя


14/10/13
335
provincialka в сообщении #1080312 писал(а):
popolznev в сообщении #1080292 писал(а):
Тогда равенства $A \tilde A = |A|E$ у нас нет, матрица-то не обратима.

Разве нет? Просто правая часть равна нулевой матрице, ведь $\det(A)=0$.

А, да, верно-верно, пардон.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group