2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первый интеграл
Сообщение06.12.2015, 15:51 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Здравствуйте!

Тут подкинули задачку, где требуется проверить, что некая полная энергия является первым интегралом,
а именно даны уравнения движения $\ddot{q}_k=e^{q_{k+1}-q_k}-e^{q_k-q_{k-1}},\, k=1,…,n$ каких-то точек на $\mathbb{R}$ , причём $q_{n+k} \equiv q_k (\text{mod} \, n)$ и энергия $H(q,\dot{q})=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{2}\dot{q}_k^2+e^{q_{k+1}-q_k})$.

Для пробы вычислял производную по времени от энергии например для $n=2$, получил $-e^{q_1-q_0}\dot{q}_1$, что на первый взгляд не есть нуль, и кроме того в самом уравнении движения фигурируют ещё две точки $q_0,q_3$, то есть уже четыре, а не две. Условие сравнения по модулю я понимаю как отождествление точек с разностью номеров кратным $n$, то есть видимо можно отождествить $q_0$ с $q_2$, и $q_1$ с $q_3$...и больше я ничего не понимаю! Не сказано даже, что такая система описывает, может поэтому и не совсем ясно, что здесь собсно нужно!

Может кто-нибудь поможет прояснить ситуацию. Что здесь собсно хотят (кроме того, чтоб вычислить производную, которая должна оказаться равной нулю)?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл
Сообщение06.12.2015, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Бабай в сообщении #1079908 писал(а):
что здесь собсно нужно!

Может кто-нибудь поможет прояснить ситуацию. Что здесь собсно хотят (кроме того, чтоб вычислить производную, которая должна оказаться равной нулю)?

Нужно показать что для всех решений производная от $H(q,\dot{q})$ равна $0$. Ну и надо уметь грамотно дифференцировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл
Сообщение06.12.2015, 16:05 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Это и так было ясно, спасибо. Напротив, я не вижу, например, как отождествление точек должно помочь при дифференцировании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл
Сообщение06.12.2015, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Бабай в сообщении #1079911 писал(а):
Напротив, я не вижу, например, как отождествление точек должно помочь при дифференцировании.


В общем, никак. Но если Вы не будете отождествлять точек то придётся суммировать от $-\infty $ до $+\infty$ и это м.б. проблематичным. Да, и после того как Вы продифференцировали и подставили $\ddot{q}_k$ получится линейная комбинация $\dot{q}_k$ (там будут ещё $\dot{q}_{k+1}$ и $\dot{q}_{k-1}$ но надо сделать замену $k:=k\pm 1$) и надо показать что коэффициенты будут 0.

Вы же получили "явное не то", из чего я заключаю, что у Вас проблемы с дифференцированием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group