Первый интеграл

[Бабай]

Здравствуйте!

Тут подкинули задачку, где требуется проверить, что некая полная энергия является первым интегралом,
а именно даны уравнения движения $\ddot{q}_k=e^{q_{k+1}-q_k}-e^{q_k-q_{k-1}},\, k=1,…,n$ каких-то точек на $\mathbb{R}$ , причём $q_{n+k} \equiv q_k (\text{mod} \, n)$ и энергия $H(q,\dot{q})=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{2}\dot{q}_k^2+e^{q_{k+1}-q_k})$.

Для пробы вычислял производную по времени от энергии например для $n=2$, получил $-e^{q_1-q_0}\dot{q}_1$, что на первый взгляд не есть нуль, и кроме того в самом уравнении движения фигурируют ещё две точки $q_0,q_3$, то есть уже четыре, а не две. Условие сравнения по модулю я понимаю как отождествление точек с разностью номеров кратным $n$, то есть видимо можно отождествить $q_0$ с $q_2$, и $q_1$ с $q_3$...и больше я ничего не понимаю! Не сказано даже, что такая система описывает, может поэтому и не совсем ясно, что здесь собсно нужно!

Может кто-нибудь поможет прояснить ситуацию. Что здесь собсно хотят (кроме того, чтоб вычислить производную, которая должна оказаться равной нулю)?
Заранее спасибо!

[Red_Herring]

Бабай в сообщении #1079908 писал(а):

что здесь собсно нужно!

Может кто-нибудь поможет прояснить ситуацию. Что здесь собсно хотят (кроме того, чтоб вычислить производную, которая должна оказаться равной нулю)?

Нужно показать что для всех решений производная от $H(q,\dot{q})$ равна $0$. Ну и надо уметь грамотно дифференцировать.

[Бабай]

Это и так было ясно, спасибо. Напротив, я не вижу, например, как отождествление точек должно помочь при дифференцировании.

[Red_Herring]

Бабай в сообщении #1079911 писал(а):

Напротив, я не вижу, например, как отождествление точек должно помочь при дифференцировании.

В общем, никак. Но если Вы не будете отождествлять точек то придётся суммировать от $-\infty $ до $+\infty$ и это м.б. проблематичным. Да, и после того как Вы продифференцировали и подставили $\ddot{q}_k$ получится линейная комбинация $\dot{q}_k$ (там будут ещё $\dot{q}_{k+1}$ и $\dot{q}_{k-1}$ но надо сделать замену $k:=k\pm 1$) и надо показать что коэффициенты будут 0.

Вы же получили "явное не то", из чего я заключаю, что у Вас проблемы с дифференцированием.