Может ли ZFC быть непротиворечивой и неверной?

[revenalp]

Обычно вопрос о состоятельности ZFC сводится к вопросу о её непротиворечивости.
Но у меня возник вопрос - может ли она быть непротиворечивой и неверной одновременно?
Например, ZFC была бы неверной, если бы в ней можно было бы доказать неверное предложение о натуральных числах. В отличие от Гипотезы Континуума и других чисто теоретико-множественных предложений, предложения о натуральных числах "истинны" или "ложны" сами по себе, вне зависимости от каких-либо формальных теорий. И любая формальная теория, включающая арифметику, будет состоятельной, только если выводимые в ней предложения о натуральных числах будут соответствовать их реальным свойствам. Так вот, есть ли вероятность, что в ZFC доказывается некое утверждение $(\exists x\in \mathbb{N})(R)$, в то время как на самом деле натурального числа, удовлетворяющего свойству $R$, не существует, и если бы это было так, то можно ли было бы доказать это некими метаматематическими способами, подобно тому как Гёдель доказывает существование истинного, не недоказуемого предложения?

[Someone]

revenalp в сообщении #1079830 писал(а):

предложения о натуральных числах "истинны" или "ложны" сами по себе, вне зависимости от каких-либо формальных теорий.

Да что Вы говорите! А мужики-то и не знают…

revenalp в сообщении #1079830 писал(а):

их реальным свойствам

Это каким таким "реальным" свойствам?

Вообще-то, ZFC формализует методы доказательства, применяемые математиками. Подавляющее большинство математиков не заморачиваются этой формализацией, и работают на "содержательном" уровне, имея в виду некую "стандартную" интерпретацию той области, в которой они работают. И "чудесным" образом оказывается, что их рассуждения формализуются в ZFC, давая именно тот результат, который получился "содержательно".

[revenalp]

Someone в сообщении #1079831 писал(а):

revenalp в сообщении #1079830 писал(а):

предложения о натуральных числах "истинны" или "ложны" сами по себе, вне зависимости от каких-либо формальных теорий.

Да что Вы говорите! А мужики-то и не знают…

А что тогда имеет в виду Гёдель, говоря о "истинном", но недоказуемом предложении?

-- 06.12.2015, 03:05 --

Someone в сообщении #1079831 писал(а):

Это каким таким "реальным" свойствам?

Ну, например, существование или несуществование максимальной пары простых чисел-близнецов - это "реальное" свойство натуральных чисел.

[Someone]

revenalp в сообщении #1079832 писал(а):

А что тогда имеет в виду Гёдель, говоря о "истинном", но недоказуемом предложении?

Он имел в виду вполне конкретное утверждение. Оно получается таким образом.

Утверждение о непротиворечивости арифметики Пеано является метаутверждением, его нельзя сформулировать в самой арифметике, потому что объектами арифметики являются натуральные числа, а не утверждения и их доказательства. Зато утверждения арифметики и их доказательства являются объектами метатеории. Посредством специальной нумерации утверждение о непротиворечивости арифметики можно превратить в утверждение о натуральных числах. Если предположить, что арифметика непротиворечива, то это утверждение о натуральных числах оказывается истинным, но недоказуемым средствами арифметики.

revenalp в сообщении #1079832 писал(а):

Ну, например, существование или несуществование максимальной пары простых чисел-близнецов - это "реальное" свойство натуральных чисел.

Я не понимаю, что такое "реальное" свойство. Я понимаю, что такое доказуемое высказывание, что такое истинное высказывание (кстати, набор истинных высказываний арифметики зависит от её интерпретации). А какие высказывания в арифметике являются "реальными" — понятия не имею. Объяснитесь. Пример ваш ничего не объясняет. Я думаю, что бесконечность множества пар близнецов в конце концов будет доказана.

[deep blue]

revenalp в сообщении #1079830 писал(а):

И любая формальная теория, включающая арифметику, будет состоятельной, только если выводимые в ней предложения о натуральных числах будут соответствовать их реальным свойствам. Так вот, есть ли вероятность, что в ZFC доказывается некое утверждение $(\exists x\in \mathbb{N})(R)$, в то время как на самом деле натурального числа, удовлетворяющего свойству $R$, не существует

Мне кажется "реальность" недоказуемых свойств как раз и определяется через эквивалентность непротиворечивости ZFC.
То есть "реальны" те утверждения о числах, которые доказуемы при наличии дополнительной аксиомы, что ZFC непротиворечива (вроде добавление такой аксиомы позволяет доказать новые утверждения о числах о чем говорил Someone).

Например, существование максимальной пары близнецов вполне может оказаться и недоказуемым и "реальным" в вышеприведенном смысле.

[revenalp]

Someone в сообщении #1079835 писал(а):

Я не понимаю, что такое "реальное" свойство. Я понимаю, что такое доказуемое высказывание, что такое истинное высказывание (кстати, набор истинных высказываний арифметики зависит от её интерпретации). А какие высказывания в арифметике являются "реальными" — понятия не имею. Объяснитесь. Пример ваш ничего не объясняет. Я думаю, что бесконечность множества пар близнецов в конце концов будет доказана.

Видимо, я использовал плохой термин. Под "реальным" я имел ввиду всего навсего "истинное" (независимо от того, доказуемо оно в формальной теории или недоказуемо; просто для некоторых формалистов понятие "истинности" высказывания тождественно его доказуемости, и понятие "истинности" высказывания полностью зависит от того, какую формальную систему мы рассматриваем; например, в $(ZFC+CH)$ $CH$ истинна; в $(ZFC+\neg CH)$ $CH$ ложна). Во всяком случае, именно так об "истинности" пишут Бурбаки в "Теории множеств".

Например, возьмём $AP$ (арифметику Пеано), предполагая, что она непротиворечива. Построим методом Гёделя высказывание$A$ (истинное, но недоказуемое). Затем рассмотрим теорию $AP+ \neg A$. Это будет непротиворечивая теория, которая будет доказыавать ложные арифметические утверждения. И если бы мы получили эту теорию в голом виде, не зная о методе Гёделя и о том, как метаматематически доказывается $\neg A$, то работая в рамках этой теории мы вряд ли когда-нибудь смогли бы догадаться, что с этой теорией что-то не так.

Собственно, мой вопрос касается того, не может ли что-то подобное происходить в ZFC. В силу того, что это очень сильная теория (во всяком случае, она позволяет доказывать утверждения о натуральных числах, недоказуемые в арифметике Пеано), в качестве побочного продукта в её доказательствах могут появляться ложные утверждения о натуральных числах, при том, что сама ZFC остаётся непротиворечивой?

-- 06.12.2015, 13:38 --

deep blue в сообщении #1079852 писал(а):

Мне кажется "реальность" недоказуемых свойств как раз и определяется через эквивалентность непротиворечивости ZFC.

Меня в моём вопросе больше интересует возможность доказуемости "нереальных" свойств (при непротиворечивости ZFC).

[Someone]

revenalp в сообщении #1079877 писал(а):

Под "реальным" я имел ввиду всего навсего "истинное" (независимо от того, доказуемо оно в формальной теории или недоказуемо;

Бред. Истинность и доказуемость (выводимость) — разные понятия. Выводимость — понятие синтаксическое, а истинность — модельное. В частности, истинность высказывания зависит от модели формальной системы. Есть теорема, что высказывание в формальной теории выводимо тогда и только тогда, когда оно истинно в любой модели.

revenalp в сообщении #1079877 писал(а):

просто для некоторых формалистов понятие "истинности" высказывания тождественно его доказуемости

Нельзя ли указать фамилии и имена этих формалистов, чтобы я знал, от чтения чьих работ следует воздержаться? Естественно, с точными ссылками на их работы, в которых они допускают такое утверждение.

revenalp в сообщении #1079877 писал(а):

например, в $(ZFC+CH)$ $CH$ истинна; в $(ZFC+\neg CH)$ $CH$ ложна). Во всяком случае, именно так об "истинности" пишут Бурбаки в "Теории множеств".

А чего Вы ожидаете? Если у нас есть аксиома, утверждающая истинность континуум-гипотезы, то она истинна в любой модели (по определению модели). Если есть аксиома, утверждающая ложность — ложна в любой модели (тоже по определению модели).

revenalp в сообщении #1079877 писал(а):

Например, возьмём $AP$ (арифметику Пеано), предполагая, что она непротиворечива. Построим методом Гёделя высказывание$A$ (истинное, но недоказуемое). Затем рассмотрим теорию $AP+ \neg A$. Это будет непротиворечивая теория, которая будет доказыавать ложные арифметические утверждения.

Не будет она доказывать ложные арифметические утверждения. Доказательства устроены так, что из истинных утверждений выводятся исключительно истинные (по определению модели). Просто теории PA+A и PA+¬A имеют разные модели, и утверждения, ложные в одной модели, вполне могут быть истинными в другой.

revenalp в сообщении #1079877 писал(а):

Собственно, мой вопрос касается того, не может ли что-то подобное происходить в ZFC. В силу того, что это очень сильная теория (во всяком случае, она позволяет доказывать утверждения о натуральных числах, недоказуемые в арифметике Пеано), в качестве побочного продукта в её доказательствах могут появляться ложные утверждения о натуральных числах, при том, что сама ZFC остаётся непротиворечивой?

Ещё раз: и PA, и ZFC имеют множество разных моделей. Высказывания, истинные в одной модели, могут оказаться ложными в другой. Доказуемыми являются только высказывания, истинные во всех моделях.

revenalp в сообщении #1079877 писал(а):

Меня в моём вопросе больше интересует возможность доказуемости "нереальных" свойств (при непротиворечивости ZFC).

Поскольку "реальность" Вы чуть выше отождествили с истинностью, которая зависит от выбранной модели теории, то "реальность" также зависит от модели.