Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1079558 писал(а):

(поскольку Вы ранее указывали на необходимость учета временнЫх отношений), хотел бы обратить Ваше внимание на очень понравившееся мне место из Римана по указанному вопросу: http://www.px-pict.com/7/3/2/3/15/2/1.html

Вам понравилось про время тяжёлое и лёгкое?

[commator]

commator в сообщении #1069504 писал(а):

Начало, полагаю, может быть такое:

commator в Сети писал(а):

Природа высоты [1] музыкального звука [2] двойственна, что может пояснить следующее высказывание:

Система музыки есть организация связей высот, или тонов, друг с другом, и эти связи неизбежно связи чисел. Тон есть число, а так как тон в музыке всегда слышен в связи с одним или несколькими тонами — действительно слышимых или подразумеваемых — нам есть, по крайней мере, до двух чисел дело: число тона рассматриваемого и число тона слышимого или подразумеваемого в связи с первым тоном. Таким образом, соотношение. [3]

Тон и высота не синонимы, но тесно связаны, поскольку высота есть свойство слухового ощущения, порождённое чистым тоном [4], или сложным звуком [5], способным порождать ощущение высоты, тождественной высоте от соответствующего чистого тона. Звук, именуемый тон, следовательно, должен иметь частоту, порождающую ощущение высоты, что обычно выражается уравнением:

высота-в-центах = 1200∙log2(частота-для-высоты/частота-для-отсчёта) (1).

Бесспорно уравнение (1) оказывается частной формой уравнения, выражающего общий для психофизических явлений закон Вебера-Фехнера:

ощущение-в-его-единицах = k∙ln(стимул-для-ощущения/стимул-для-отсчёта) (2).

[1]. IEV 1994, pitch: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-29-01
[2]. Ibid, sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-01
[3]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 76: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203547291707987234
[4]. IEV 1994, pure sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-05
[5]. Ibid, complex sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-06

commator в сообщении #1070828 писал(а):

Продолжу:

commator в Сети писал(а):

Поскольку общий психофизический закон провозглашает превращение стимула в ощущение через логарифмическое, т. е. нелинейное преобразование, и превращение частоты в высоту это демонстрирует, то признаки нелинейности должны обнаруживаться также в других случаях, которые действительно известны. Со слуховой нелинейностью, например, связывают ощущения фантомных высот, возникающие без действительного стимулирования соответствующими частотами, а именно ощущения высот субъективных гармоник и комбинационных тонов. Не рассматривая причин появления в нелинейном преобразовании добавочных частот, надо принять во внимание, что они имеют свойство целочисленной кратности к частотам действительных стимулов:

В общем виде нелинейную функцию $F (a)$ можно представить в виде разложения в ряд по степеням $a$:

$F (a) = c_1a + c_2a^2 + c_3a^3+ c_4a^4 + c_5a^5 + \dots$

Соответствующая система порождает гармоники высших порядков от каждой входной компоненты и комбинационные тоны высших порядков с частотами

$f_k = k_1f_1 ± k_2f_2, ~~k_1, k_2 = 1, 2, 3, \dots$ [6]


[6]. Pozin, N. and Others (1978). Elements of Theory of Biological Analyzers (Russian). Moscow, p. 176: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/PozinOthers1978#5295125974633913026

commator в сообщении #1078785 писал(а):

Теперь об этом:

commator в Сети писал(а):

Если стимулы, будучи сложными звуками, не предъявят чёткой целочисленной кратности их наиболее существенных частотных составляющих, то могут быть неприятные для слуха последствия. Поэтому не теряет силы известная истина:

Сложные тоны определенного класса предпочитаемы для всех видов музыки, мелодической и гармонической; и почти исключительно используемы для более тонкого и художественного развития музыки: таковыми являются сложные тоны, которые имеют гармоничные верхние частичные тоны, то есть сложные тоны, в которых высшие частичные тоны имеют вибрационные числа, которые суть целые кратные вибрационному числу нижайшего частичного тона, или начала. [7]

Соответствует этой истине тип сложного звука называемый со́звук [8] (klang [9] or clang [10]) — по сути вертикальный (т.е. исполняемый как аккорд) гармонический ряд звуков. [11] Со́звуки в качестве стимулов не могут препятствовать изучению чёткой интонации [12][13][14] через искажение высотных ощущений от субъективных гармоник и комбинационных тонов (последним свойственна роль унтертонов [15] коллективного воздействия обертонов [16]).

Опыты с удалением основы [17] со́звука показывают: в границах действия закона Вебера-Фехнера резидуум [18] (множество всех обертонов со́звука без основы) способен коллективно и ощутимо для слуха выражать частоту основы, которая оказывается унтертоном каждого обертона.


[7]. Helmholtz, H. by Ellis, A. (1895). On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music. London, New York: Longmans, Green, and Co, p. 362: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/HelmholtzOnTheSensationsOfTone#6123388485805322786
[8]. Riemann, H. by Engel, J. (1901-4). “Со́звук (нем. Klang)”, Musical Dictionary (Russian). P. Jurgenson, Moscow. p. 1201: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Riemann1900MusikLexikon#6202834096034611938
[9]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 70: « Harmonic Content: <…> the klang. » https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203902505088107170
[10]. Riemann, H. by Shedlock, J. (1876). “Clang”, Dictionary of Music. Augener & Co., London. p. 143: « Since it has been known that the sounds of our musical instruments are not simple tones <…> the term S[ound], in scientific works, has been replaced by the more general, comprehensive one, C[lang], whilst sound is applied to the simple sounds as part of the C[lang]. » http://imslp.org/wiki/Musiklexikon_(Riemann,_Hugo)
[11]. IEV 1994, harmonic series of sounds: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =801-30-04
[12]. Thompson, T. (1850). Theory and Practice of Just Intonation. London: Effingham Wilson, p. 7: « 1. <…> Just Intonation <…> playing in tune » https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Thompson1850TheoryAndPracticeOfJustIntonation#6223051075679622002
[13]. Helmholtz, H. by Ellis, A. (1895). On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music. London, New York: Longmans, Green, and Co, p. 327: « absence of beats <...> when a voice is accompanied by sustained chords in just intonation » https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/HelmholtzOnTheSensationsOfTone#6223245596235985634
[14]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 71: « Just Intonation: <…> the wealth of musical intervals inherent in small-number tonal relationships » https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203902505240810706
[15]. Riemann, H. by Shedlock, J. (1876). “Clang”, Dictionary of Music. Augener & Co., London. p. 145: « The lowest combination tone of an interval is always the first undertone common to both interval[ tone]s » http://imslp.org/wiki/Musiklexikon_(Riemann,_Hugo)
[16]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 72: « Overtone: same as Partial » https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203902510694979298
[17]. IEV 1994, fundamental: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-01
[18]. Schouten, J. (1940). The residue, a new component in subjective sound analysis. Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken, Eindhoven, Holland. Communicated at the meeting of February 24, 1940, https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/SchoutenTheResidueANewComponentInSubjectiveSoundAnalysis1940#6193279250243602738

И ещё:

commator в Сети писал(а):

В случае одновременного восприятия любой пары высот нельзя утверждать, что ощущение интервала возникает через оценку в направлении снизу вверх, например. С таким же успехом ощущение интервала может возникать через оценку в направлении сверху вниз.

Это обычная практика музыкально рассматривать соотношения (интервалы), как строящиеся вверх (с бо́льшим числом выше) от нижней постоянной <…>. Такая соотношенческая символика лишь одна из нескольких возможностей, и есть предмет произвольного выбора; обратная форма в практическом применении синонимична [19]

Одна нота в сравнении с другими нотами (мы будем говорить теперь только о нотах, чья связь распознаётся слухом, гармонична и понятна) либо сама неподвижная точка, prima ratio, начиная с которой другие учитываются или, наоборот, она взамен, учитывается в её связи к какой-то другой ноте [20]

представить минорную триаду в виде прямой пропорции (10:12:15) высшей нервной системе субъекта вполне по силам, но также ей по силам представить эту же триаду в виде обратной пропорции (1/6:1/5:1/4) [21]

Главный высотный материал чётко интонированной музыки суть ощущения от со́звуков, каждое из которых есть КВ (категория высот), так образованная через связи гармонического родства, что вместе с легко распознаваемой высотой основы присутствуют одновременно высоты от всех обертонов, но распознать любую из них труднее, чем высоту от основы. Поэтому вся КВ от одного со́звука воспринимается как единственная нижайшая высота, совпадающая с таковой от основы, но позволяющая, также, сосредоточить слух на высотах от обертонов того же со́звука.

Если в КВ от некоторого со́звука выслушивать одновременно пару высот — от основы и одного из обертонов, то в случае успеха обычно говорится о восприятии вертикального интервала между основой и обертоном, но это не полное описание сути воспринятого. Для полноты следует говорить также о восприятии вертикального интервала между обертоном и его унтертоном, совпадающим с высотой от основы. Вышеупомянутые опыты с удалением основы со́звука исключают сомнение в том, что внутри КВ от одного со́звука высота от каждого обертона сопровождается высотой от унтертона, такой же, как высота от основы.

[19]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 79: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203547291552648818
[20]. Riemann, H. by Translator. (1896). Harmony Simplified or the Theory of the Tonal Functions of Chords. Augener & Co., London. p. 2: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Riemann1893VereinfachteHarmonielehre#6203253908924450770
[21]. Madgazin, V. (2009). “On the Information Theory of Emotions of Musical Chords”, Proceedings of the International Symposium Frontiers of Research on Speech and Music (FRSM-2009), p. 175: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/FRSM2009MyVadimSPapersInProceedings#6179843871153201746

д-р Уибберли в комментарии писал(а):

Я думаю, склонность современных теоретиков есть неправильно понимать, что древние теоретики, как Пифагор, никогда не постигали высоты в выражениях частоты (или даже частотных соотношений), но скорее в выражениях струнной длины. Поэтому, когда Пифагор определял октаву как 2:1, он не был утверждающим, что верхняя высота вибрировала в два раза быстрее, чем нижняя — он был скорее утверждающим, что если струна длиной X звучит, а затем подпирается на полпути вдоль её длины, вторая подпёртая нота будет на октаву выше. Так здесь "2" есть нижняя высота, в то время как "1" есть верхняя высота (что является точным обращением частотных свойств).

Это означает, что (для Пифагора) "2:1" подразумевает нижнюю высоту по отношению к верхней — так Парч не совсем прав, говоря, что такая точка зрения есть лишь "произвольная" (по крайней мере для ранних греческих теоретиков). Для них интервалы были всегда описаны как родсто верхней ноты (ребенок) с нижней нотой (родитель). В том способе [чем] проще струнно-длинное соотношение [тем] более согласный интервал.

Однако, Мадгазин прав (но не по той причине, что он думает) в заявлении, что триада может также быть воспринята как обратная пропорция, — но этого нет (на мой взгляд) потому что преобладающий авторитет в нижней ноте уменьшается, но, скорее, потому что он (как и другие современные теоретики) думает в выражениях *частотных* соотношений — этих самих по себе являющихся точным обращением струнной длины.

(Английский)

I think a tendency with modern theorists is to misunderstand that ancient theorists like Pythagoras never conceived pitches in terms of frequency (or even frequency ratios) but rather in terms of string length. So when Pythagoras identified the octave as 2:1 he was not saying that the upper pitch vibrated twice as fast as the lower - he was rather saying that if a string of length X is sounded, and then is stopped half way along its length, the second stopped note will be an octave higher. So here the "2" is the lower pitch, while the "1" is the upper pitch (this being the exact inverse of frequency properties).

This means that (to Pythagoras) "2:1" meant the lower pitch in relation to the upper - so Partch is not exactly correct in saying that such a view is merely"arbitrary" (at least for early Greek theorists). To them intervals were always described as the relationship of the upper note (the child) with the lower note (the parent). In that way the simpler the string-length ratio the more consonant the interval.

However, Madgazin is correct (but not for the reason he thinks) in saying that a triad can also be perceived as an inverse proportion - but this is not (in my view) because the ruling authority of the lower note is diminished, but rather because he (like other modern theorists) is thinking in terms of *frequency* ratios - these themselves being the exact inverse of string length.

commator в ответе писал(а):

Почти месяц наэад был совет для меня: Попробуйте почитать "Установления гармонии" Царлино без купюр. Вы обнаружите, что этот "Князь Музыки" "отжалел" целых два тома (первых) своего фундаментального труда на арифметику с геометрией. Ни одного слова про "частотные стимулы", "обертоны" и пр. там нет. http://dxdy.ru/post1071463.html#p1071463

Сегодня я остаюсь с тем же мнением, как и тогда: И что ему было ещё делать без представлений о логарифмах и законе Вебера-Фехнера, которые он из-за исследований звуковысотных явлений всё же вынужден был косвенно задействовать через геометрию и арифметику?

Нам-то зачем кнопки логарифмирования/экспонирования в калькуляторе заклеивать?

Птолемей, вон, ухитрился состряпать даже строение солнечной системы, не представляя её в предложенном Коперником виде. Потребляют теперь, таки, не геоцентрические пирожки. А сколько попы́ хороших мыслей (и людей) погубили, пока имели право пичкать народ этой кривобокой птолемеевой стряпнёй? http://dxdy.ru/post1071596.html#p1071596

(Английский)

Almost a month ago was advice for me: Try reading "Creation of Harmony" Zarlino without denominations. You will find that the "Prince of Music" "not regretted" as many as two volumes (the first) of his fundamental work on arithmetic with geometry. Not a single word about the "frequency stimuli", "overtones" and so on is not there. http://dxdy.ru/post1071463.html#p1071463

Today I'm staying with the same opinion, as it was then: And what was him else to do without notions on logarithms and the Weber-Fechner law, which he because of researches of sound-pitch phenomena yet was compelled indirectly use through geometry and arithmetic?

Why should we buttons logarithm/exposure in the calculator glue up?

Ptolemy out there contrived to concoct even the structure of the solar system, not presenting it in the form proposed by Copernicus. Are consumed now however not geocentric patties. But how much good ideas (and people) killed,
while cassocks had the rights cram the folk this lopsided Ptolemaic cookery? http://dxdy.ru/post1071596.html#p1071596

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1079456 писал(а):

Каждую ноту выразим в виде: $2^{-k} \cdot \varphi^m$

Тоника: $2^{-2} \cdot \varphi^3 \approx 1.059$
Берем исходную частоту и умножаем на это, получаем $232.98 Hz$

Доминанта (квинта): $2^{-7} \cdot \varphi^{11} \approx 1.555$, частота $342.04 Hz$
Субд. (кварта): $2^{-3} \cdot \varphi^5 \approx 1.386$, частота $304.97 Hz$

Б.терция: $2^{-1} \cdot \varphi^2 \approx 1.309$, частота $287.98 Hz$
М.терция: $2^{-1} \cdot \varphi^1 \approx 1.236$, частота $271.92 Hz$

Если я не ошибаюсь Вы через $\varphi$ рассчитываете не высоту в области ощущений, а частоту в области стимулов?

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1079614 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1079558 писал(а):

(поскольку Вы ранее указывали на необходимость учета временнЫх отношений), хотел бы обратить Ваше внимание на очень понравившееся мне место из Римана по указанному вопросу: http://www.px-pict.com/7/3/2/3/15/2/1.html

Вам понравилось про время тяжёлое и лёгкое?

Понравилось рассуждениями о симметрии в музыке и интуитивно ощущаемой возможностью связать это с тем, что Дэвид Райт пишет по поводу "горизонтальной структуры". Я пытался начать такую тему здесь:
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=100886

-- Сб дек 05, 2015 15:02:51 --

А также понравилось аналогиями между музыкой и архитектурой, которые меня тоже давно интересуют в связи с работами Палладио:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 156&page=4
(постинг 40 на указанной странице)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1079723 писал(а):

между музыкой и архитектурой

делал опыты Энди Филлебраун через движение во времени трёхмерных моделей сквозь плоскость частота-громкость.

https://www.youtube.com/watch?v=QL-ieyuB5oo

Так можно создавать слуховые ощущения, которые немыслимо вручную предписывать обычной нотацией.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1070828 писал(а):

Продолжу:

commator в Сети писал(а):

Поскольку общий психофизический закон провозглашает превращение стимула в ощущение через логарифмическое, т. е. нелинейное преобразование, и превращение частоты в высоту это демонстрирует, то признаки нелинейности должны обнаруживаться также в других случаях, которые действительно известны. Со слуховой нелинейностью, например, связывают ощущения фантомных высот, возникающие без действительного стимулирования соответствующими частотами, а именно ощущения высот субъективных гармоник и комбинационных тонов. Не рассматривая причин появления в нелинейном преобразовании добавочных частот, надо принять во внимание, что они имеют свойство целочисленной кратности к частотам действительных стимулов:

В общем виде нелинейную функцию $F (a)$ можно представить в виде разложения в ряд по степеням $a$:

$F (a) = c_1a + c_2a^2 + c_3a^3+ c_4a^4 + c_5a^5 + \dots$

Соответствующая система порождает гармоники высших порядков от каждой входной компоненты и комбинационные тоны высших порядков с частотами

$f_k = k_1f_1 ± k_2f_2, ~~k_1, k_2 = 1, 2, 3, \dots$ [6]


[6]. Pozin, N. and Others (1978). Elements of Theory of Biological Analyzers (Russian). Moscow, p. 176: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/PozinOthers1978#5295125974633913026

А я, со своей стороны, хотел бы продолжить следующим образом. Проинтерпретировать "k-Harmony Tablets" как группоиды Брандта и далее от группоидов Брандта перейти к "группоидам Фарея", определив последние как фактор-группоиды соответствующих группоидов Брандта по конгруэнции, отвечающей "отношению пропорциональности" на прямоугольниках.

Свободный Художник в сообщении #1067849 писал(а):

Флетчер ссылается на Кокстера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/7.html
Кокстер ссылается на классическую Hardy G. H. and Wright E. M. "An Introduction to the Theory of Numbers":
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3.html
Было бы интересно взглянуть на сответствующие места из последней книги.
P.S. Уважаемый commator, нам что Дерево Штерна-Броко (ДШБ), что "последовательности Фарея", были бы одинаково полезны.

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

При исследовании последовательностей Фарея решетки параллелограмов там используются. Начало соответствующего параграфа можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/3/5.html

Нам последовательности Фарея выгодны тем, что из них можно легко получить системы элементарных звучий:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
путем добавления дуальных (т. е. перевернутых) упорядоченных пар и "расклейки" некоторых пропорциональных пар.
Варианты озвучки таких систем были приведены здесь:
http://www.px-pict.com/3/tabs.html

Часть этого плана выполнена здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 3 на указанной странице)

[AliceLovelace]

commator в сообщении #1079702 писал(а):

Если я не ошибаюсь Вы через $\varphi$ рассчитываете не высоту в области ощущений, а частоту в области стимулов?

В герцах, т.е. стимулов, если правильно понимаю. А проверка на слух, поэтому выбираются из области ощущений.
Но подоплека использования $\varphi$ чисто из области стимулов, т.е. частот, про ощущения к сожалению знаю мало. Цель в том, чтобы обертоны при добавлении нового звука в аккорд, наличествовали среди уже имеющихся обертонов (с кратностью), либо гасились через отсутствие общей кратности. При использовании целых дробей этого гашения обычно не будет, а будет бубнеж.

[Свободный Художник]

Все-таки я хочу до конца проверить свою гипотезу о том, что Возможно, Риман интуитивно чувствовал дуализм математической системы, которую он пытался использовать для описания упомянутого музыкального дуализма. А именно, дуализм (или “двойственность”) внутри системы положительных рациональных чисел...:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 892&page=2
(постинг 19 на указанной странице)

[AliceLovelace]

Честно говоря, мне кажется со своим дуализмом вы ходите вокруг вещей гораздо более глобальных нежели просто музыка. Если посмотреть, тут откликается и книга перемен, и еврейская меркаба (в смысле того странного вортексного тора)... и всякие марко-родины со своими плетенками из mod9, но это все третий уровень вашего деревца VH (который честно себе скоммуниздила, хочется его коэффициенты кое-где проверить). Но раз так, то и музыка сюда попадает. И ритм... (кстати, не заметила обсуждений ритма в теме)

Думаю эти коэффициенты надо брать не дословно, а впрячь в некий итеративный процесс (инь-янь, все дела), который в пределе выдаст вам фактическую суть и значения. Деталей процесса не могу сказать, но в целом может стоить в эту сторону посмотреть.

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1080029 писал(а):

$\varphi$ чисто из области стимулов

Из

AliceLovelace в сообщении #1079456 писал(а):

М.терция: $2^{-1} \cdot \varphi^1 \approx 1.236$

следует $\varphi \approx 2.472$.

Здесь нет ошибки?

-- 07.12.2015, 02:36 --

Свободный Художник в сообщении #1080028 писал(а):

А я, со своей стороны, хотел бы продолжить следующим образом. Проинтерпретировать "k-Harmony Tablets" как группоиды Брандта и далее от группоидов Брандта перейти к "группоидам Фарея", определив последние как фактор-группоиды соответствующих группоидов Брандта по конгруэнции, отвечающей "отношению пропорциональности" на прямоугольниках.

И как потом вычислять изгибы 12РДО высот для чёткого интонирования североиндийских раг, например, или прелюдий и фуг из ХТК Баха?

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1080030 писал(а):

Возможно, Риман интуитивно чувствовал дуализм математической системы, которую он пытался использовать для описания упомянутого музыкального дуализма. А именно, дуализм (или “двойственность”) внутри системы положительных рациональных чисел...

Если поразмыслить иначе, выходит другое:

возможно древние не догадались, что одинаковый музыкальный интервал вверх и вниз ́— две большие разницы, но музыка их заставила догадаться до рациональных чисел, где и вылезла наружу музыкальная двойственность.

[AliceLovelace]

commator в сообщении #1080148 писал(а):

Из

AliceLovelace в сообщении #1079456 писал(а):

М.терция: $2^{-1} \cdot \varphi^1 \approx 1.236$

следует $\varphi \approx 2.472$.

Здесь нет ошибки?

Ага, спс. Должно быть обратное: $2^{1} \cdot \varphi^{-1} \approx 1.236$

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1080168 писал(а):

Должно быть обратное: $2^{1} \cdot \varphi^{-1} \approx 1.236$

Отсюда $\varphi \approx 1.618$ всё-таки.

Как раз тот случай, где

Свободный Художник в сообщении #1067849 писал(а):

что Дерево Штерна-Броко (ДШБ), что "последовательности Фарея", были бы одинаково полезны

для выяснения что за головоломка Вами

AliceLovelace в сообщении #1079456 писал(а):

высосана с пальца буквально

Грубо говоря, Вы предлагаете цепь особенных б.6/м.3; подобные цепи бывали предложены ранее, хотя и не так часто, как цепи ч.5/ч.4.

В 12РДО цепь из четырех м.3 даёт одну октаву, а четыре Ваших не дадут.

Интересно, сколько октав будет в цепи, неразличимо приближающей свой конец к таковому в цепи Ваших $\varphi$-м.3, если обе цепи имеют общее начало? Сколько будет $\varphi$-м.3 в такой цепи?

[AliceLovelace]

Ой нет, на цепочки м3 данный строй явно не расчитан)) $4\cdot m.3 = 1.86$
Он скорее расчитан на внутриоктавное построение - сначала расставляем октавы, потом их внутренности. А может, надо иначе выбрать м3 - взято ведь первое попавшееся под руку. Я же писала, оно дает быстрое биение, но даже при этом звучит...
Преимущество над 12РДО - там взято среднее по больнице, ни рыба ни мясо, как говорится. Каша из обертонов. Хотя недробные соотношения, уже хорошо.
Данный строй неточный - спору нет - но он (теоретически)) восполняет это консонансом обертонов. Иначе говоря - ставка тут в 90% на обертоны, а главные тона тут бедные родственники почти). И есть свобода выбора - не нравится такая высота - можно поискать среди других степеней двойки и $\varphi$.

Например малая терция 12РДО - 1.189 (соотношение с базовым тоном), у меня 1.167... Можно поискать что-то поближе к 1.2.

Кстати если не трудно, попробуйте прозвучать мажорное трезвучие точно в этих герцах (тоника, б.3, 5, желательно с точностью до долей герц, но если с целыми как в моих тестах, не страшно). Вы знакомы с таким явлением, когда аккорд сам по себе "настраивается"? Помните, писала про медленное биение, если сыграть 1-б3-5. Так вот, спустя пару секунд это биение исчезает, а остается ровное полотно. Звуки как бы находят такое сочетание фаз. Интересно, это на уровне слуха происходит или на самом деле?
$232.98 Hz$ $287.98 Hz$ $342.04 Hz$
- вот это проиграйте плз.

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1080545 писал(а):

на цепочки м3 данный строй явно не расчитан <...> ставка тут в 90% на обертоны, а главные тона тут бедные родственники почти). И есть свобода выбора - не нравится такая высота - можно поискать среди других степеней двойки и $\varphi$.

Так оно и бывает, когда получается на что не рассчитано.

Вы задумали систему из степеней иррационального $\varphi$ для приближения к рациональным обертонам, а получилась-таки цепь некоторых частотных интервалов [1] $\varphi$, по закону Вебера-Фехнера дающих в области высотных ощущений интервал [2] из категории M6 [3] в первом приближении.

Дабы опять не случилось

AliceLovelace в сообщении #1080545 писал(а):

Ой нет

надо показать, что не с категорией d7 [3] имеем дело, или наооборот, не с M6, или с двумя сразу как в системе 12РДО, например.

Показать можно через рационализацию $\varphi$, а именно для $\varphi$

Свободный Художник в сообщении #1067849 писал(а):

что Дерево Штерна-Броко (ДШБ), что "последовательности Фарея", были бы одинаково полезны

[1] IEV 1994, frequency interval: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-07
[2] Ibid, interval: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-08
[3] WP, Interval (music) https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(music)#Main_intervals