Доброе время суток, пожалуйста, помогите разобраться с этим простым моментом!
Требуется показать, что из уравнения Шрединера следует факт сохранения нормировки волновой функции во времени. Записывая формально (если я не допуска ошибку), надо показать следущее:
![$\frac{d}{dt}\int \psi^{*} \psi dv = 0$ $\frac{d}{dt}\int \psi^{*} \psi dv = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/e/f5e3a926b8cec6c89bf6f77d6074464182.png)
1) Записываем уравнение Шредингера и сопряженное к нему:
![$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$ $i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/2/5c21d2d682091b4da27760dc1a111f8382.png)
![$-i\hbar\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} = \hat{H^{*}}\psi^{*}$ $-i\hbar\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} = \hat{H^{*}}\psi^{*}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/3/99335c0472da713f42b5ed32b221a76a82.png)
2) Умнажаем оба равенства слева на
![$\psi^{*}$ $\psi^{*}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/b/8aba5c15deff93805d69f35d3d74856282.png)
и
![$\psi$ $\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3c241c2dec821bd6c6fbd314fe476282.png)
соответсвенно:
![$i\hbar\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} = \psi^{*}\hat{H}\psi$ $i\hbar\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} = \psi^{*}\hat{H}\psi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/f/6efbea6b8b43353d67d8c121b45f243d82.png)
![$-i\hbar\psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} = \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$ $-i\hbar\psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} = \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/3/a23412b4424905a7fedf4dd61289c02982.png)
3) Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем:
![$i\hbar(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}) = \psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$ $i\hbar(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}) = \psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/d/bada3f6d215dda568d44b30fd3bf225382.png)
Замечаем, что слева в явном виде выписана частная производная произведения:
![$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^{*}\psi) = \psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$ $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^{*}\psi) = \psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/6/5564990b54903d480a5adea41be0388d82.png)
4) Интегрируем полченные равенства по всем переменным:
![$\int\limits_{t}^{} dt \int\limits_{(V)}^{} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^{*}\psi) dv = \int\limits_{t}^{}dt\int\limits_{(V)}^{}\psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}dv$ $\int\limits_{t}^{} dt \int\limits_{(V)}^{} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^{*}\psi) dv = \int\limits_{t}^{}dt\int\limits_{(V)}^{}\psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}dv$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/f/e4f472574be107a41373e4b37045525182.png)
5) Учитывая,что оператор Гамильтона
![$\hat{H}$ $\hat{H}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/f/a3f1ae33cad353141a4d09579d9b15c882.png)
сапосопряженный, мы отмечаем равенство нулю правой части равенства. Тогда мы видим, что интеграл по времени слева равен нулю, что вроде бы доказываем требуемую формулу,но я не уверен в своих выкладках.