Квантовая механика. Сохранения нормировки вф во времени.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток, пожалуйста, помогите разобраться с этим простым моментом!
Требуется показать, что из уравнения Шрединера следует факт сохранения нормировки волновой функции во времени. Записывая формально (если я не допуска ошибку), надо показать следущее:
$\frac{d}{dt}\int \psi^{*} \psi dv = 0$

1) Записываем уравнение Шредингера и сопряженное к нему:
$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$
$-i\hbar\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} = \hat{H^{*}}\psi^{*}$

2) Умнажаем оба равенства слева на $\psi^{*}$ и $\psi$ соответсвенно:
$i\hbar\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} = \psi^{*}\hat{H}\psi$
$-i\hbar\psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} = \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$

3) Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем:
$i\hbar(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}) = \psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$
Замечаем, что слева в явном виде выписана частная производная произведения:
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^{*}\psi) = \psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}$

4) Интегрируем полченные равенства по всем переменным:
$\int\limits_{t}^{} dt \int\limits_{(V)}^{} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^{*}\psi) dv = \int\limits_{t}^{}dt\int\limits_{(V)}^{}\psi^{*}\hat{H}\psi - \psi\hat{H^{*}}\psi^{*}dv$

5) Учитывая,что оператор Гамильтона $\hat{H}$ сапосопряженный, мы отмечаем равенство нулю правой части равенства. Тогда мы видим, что интеграл по времени слева равен нулю, что вроде бы доказываем требуемую формулу,но я не уверен в своих выкладках.

[Sicker]

Pulseofmalstrem
Ммм может быть сделать преобразование Фурье волновой функции, и из сохранения нормировки функций импульса следует сохранение нормировки и исходной ВФ?

-- 04.12.2015, 21:59 --

Pulseofmalstrem
Или показать ортогональность функций грина уравнения Шредингера.

[Red_Herring]

Pulseofmalstrem
Всё правильно

Sicker
Что Вы там курили?

[Pphantom]

Sicker, предупреждение за очередное безобразие в учебном разделе.

[Sicker]

Ой уравнение Шредингера для свободной частицы имел я ввиду