Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???

[porosev]

Здравствуйте!

Есть классическая задача о размещении n-неразличимых шаров по m-урнам. В Феллере "Введение в тер.вер и ее приложения" выведены разным способом
распределения вероятности когда ровно k- урн остаются пустыми- $P_{k}(n,m)$.. Понятно что от обратного можно получить число занятых урн.

Мне хочется посмотреть моменты - среднее число занятых урн и их дисперсию. Понятно что надо считать суммы вида $\sum_{i} i\cdot (1-P_{n-i}(n,m))$ для среднего
и аналогично для дисперсии. Однако выражение для $P_{k}(n,m)$ само выражается через суммы... Понятно что численными методами для заданным n.m все можно посчитать.

Но может в какой-то книжке есть аналитические выражения для моментов ??

[mihiv]

porosev в сообщении #1079157 писал(а):

Мне хочется посмотреть моменты - среднее число занятых урн и их дисперсию. Понятно что надо считать суммы вида $\sum_{i} i\cdot (1-P_{n-i}(n,m))$ для среднего

Среднее значение равно по-моему: $\sum \limits _iiP_{m-i}(n,m)$

[NSKuber]

porosev в сообщении #1079157 писал(а):

Мне хочется посмотреть моменты - среднее число занятых урн и их дисперсию.

Попробуйте рассмотреть случайные величины $\{\xi_i\}_{i=1}^{n}$, где $\xi_i$ принимает значение $1$, если в соответствующую урну попал хоть один шар и ноль иначе. Вероятность этих событий посчитать нетрудно.
А потом линейность матожидания...

[porosev]

Спасибо! Как полезно посмотреть со стороны...

Вероятность что в ящик попадет хотя бы 1 шар в n-испытаниях $p=1-(1-\frac{1}{m})^{n}$. Соответственно для суммы случайных величин принимающих значение 1 с вероятностью -p и 0 с 1-p
среднее - $M=m \cdot p$ а дисперсия $D=m \ cdot p(1-p)$

[Lia]

porosev
Оформляйте все формулы, пожалуйста.

[NSKuber]

Вы уж определитесь, какую схему вы рассматриваете:

porosev в сообщении #1079157 писал(а):

задача о размещении n-неразличимых шаров по m-урнам.

или

porosev в сообщении #1079668 писал(а):

Вероятность что в ящик попадет хотя бы 1 шар в n-испытаниях $p=1-(1-\frac{1}{m})^{n}$