2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???
Сообщение03.12.2015, 20:36 


03/12/15
5
Здравствуйте!

Есть классическая задача о размещении n-неразличимых шаров по m-урнам. В Феллере "Введение в тер.вер и ее приложения" выведены разным способом
распределения вероятности когда ровно k- урн остаются пустыми- $P_{k}(n,m)$.. Понятно что от обратного можно получить число занятых урн.

Мне хочется посмотреть моменты - среднее число занятых урн и их дисперсию. Понятно что надо считать суммы вида $\sum_{i} i\cdot (1-P_{n-i}(n,m))$ для среднего
и аналогично для дисперсии. Однако выражение для $P_{k}(n,m)$ само выражается через суммы... Понятно что численными методами для заданным n.m все можно посчитать.

Но может в какой-то книжке есть аналитические выражения для моментов ??

 Профиль  
                  
 
 Re: Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???
Сообщение04.12.2015, 11:52 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
porosev в сообщении #1079157 писал(а):
Мне хочется посмотреть моменты - среднее число занятых урн и их дисперсию. Понятно что надо считать суммы вида $\sum_{i} i\cdot (1-P_{n-i}(n,m))$ для среднего


Среднее значение равно по-моему: $\sum \limits _iiP_{m-i}(n,m)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???
Сообщение04.12.2015, 12:10 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
porosev в сообщении #1079157 писал(а):
Мне хочется посмотреть моменты - среднее число занятых урн и их дисперсию.

Попробуйте рассмотреть случайные величины $\{\xi_i\}_{i=1}^{n}$, где $\xi_i$ принимает значение $1$, если в соответствующую урну попал хоть один шар и ноль иначе. Вероятность этих событий посчитать нетрудно.
А потом линейность матожидания...

 Профиль  
                  
 
 Re: Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???
Сообщение05.12.2015, 09:08 


03/12/15
5
Спасибо! Как полезно посмотреть со стороны...

Вероятность что в ящик попадет хотя бы 1 шар в n-испытаниях $p=1-(1-\frac{1}{m})^{n}$. Соответственно для суммы случайных величин принимающих значение 1 с вероятностью -p и 0 с 1-p
среднее - $M=m \cdot p$ а дисперсия $D=m \ cdot p(1-p)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???
Сообщение05.12.2015, 09:45 


20/03/14
12041
 i  porosev
Оформляйте все формулы, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размещение шаров по урнам. Как найти моменты???
Сообщение05.12.2015, 13:00 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Вы уж определитесь, какую схему вы рассматриваете:
porosev в сообщении #1079157 писал(а):
задача о размещении n-неразличимых шаров по m-урнам.

или
porosev в сообщении #1079668 писал(а):
Вероятность что в ящик попадет хотя бы 1 шар в n-испытаниях $p=1-(1-\frac{1}{m})^{n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group