Квадратное уравнение и кватерионы

[PSP]

Пусть дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0.$,где a,b,c,x \in \mathbb K-кватерионы.
Возникают вопросы:
1.Как решить такое уравнение?
2.Есть ли разница между решениями вот таких уравнений:
$x^2a+bx+c=0.$,
$ax^2+xb+c=0.$,
$x^2a+xb+c=0.$,
3.Можно ли предположить, что норма(модуль) всех решений этих уравнений одна?

[maxal]

А в чем собственно проблема с решением? бред удален

[PSP]

maxal писал(а):

А в чем собственно проблема с решением? Поле кватернионов алгебраически замкнуто, квадратное уравнение решается по той же самой "школьной" формуле и всегда имеет два корня.

А в том, что вроде бы кватериноы ведь некоммутативны...

[maxal]

Да, подзабыл я алгебру
Но тем не менее, что мешает умножить уравнение на $a^{-1}$ (слева или справа), свести его унитарному, и опять же воспользоваться школьными формулами?
Лучше все операции производить в матричном представлении. Самое сложное будет извлечение корня - но для матриц такая процедура известна.

[PSP]

maxal писал(а):

Да, подзабыл я алгебру
Но тем не менее, что мешает умножить уравнение на $a^{-1}$ (слева или справа), свести его унитарному, и опять же воспользоваться школьными формулами?
Лучше все операции производить в матричном представлении. Самое сложное будет извлечение корня - но для матриц такая процедура известна.

Мне кажется, не всё так просто..Например:
2.Есть ли разница между решениями вот таких уравнений:
$ax^2+bx+c=0.$,
$x^2a+bx+c=0.$,
$ax^2+xb+c=0.$,
$x^2a+xb+c=0.$,
?
Ведь при "умножить уравнение на $a^{-1}$ (слева или справа)" результат решения вроде бы будет разный?Или я ошибаюсь?

[maxal]

"Слева или справа" определяется в зависимости от того где стоит $a$: перед $x^2$ или после.

[PSP]

maxal писал(а):

"Слева или справа" определяется в зависимости от того где стоит $a$: перед $x^2$ или после.

А как же $b$: перед $x$ или после...это ж тоже имеет значение,..? По моему..

[maxal]

Вы бы сначала разобрались с одним уравнением, а потом бы уже коэффициенты всячески переставляли.

Вот вам статья 1930 года самого Литтлвуда по теме таких квадратных уравнений (а до кучи еще и статья об уравнениях более высоких порядков).

И, кстати, в матричной форме такие уравнения, похоже, тоже хорошо изучены. Сходу на пару таких статеек вышел:
http://citeseer.ist.psu.edu/237104.html
http://www.math.cuhk.edu.hk/conference/ ... /bini.html

Добавлено спустя 4 минуты 23 секунды:

Оказывается, это другой Литтлвуд, но сути это не меняет

[PSP]

Оказывается, эту тему поднимали и здесь

[PSP]

Кстати, оказываются, существуют и другие системы, кроме кватерионов: Системы чисел
А как для них будет решаться квадратное уравнение?

[ИСН]

Возьмите да распишите, коли охота. На мой вкус, когда летит к чёрту ассоциативность и деление, всё становится донельзя омерзительно. Это не числа, а какие-то незаконнорожденные уродцы.

[PSP]

ИСН писал(а):

Возьмите да распишите, коли охота. На мой вкус, когда летит к чёрту ассоциативность и деление, всё становится донельзя омерзительно. Это не числа, а какие-то незаконнорожденные уродцы.

Вы правы, но приходися прибегать к думам об этих уродцах Проблема вот в этом..

Цитата:

Интервал СТО в комплексном виде может быть записан так:
$1/2((A)^2+(\check A)^2)=S^2$,где $\check A$ -комплексное для $ A$сопряжение и $ A=x+ti$,$ \check A =x-ti$.
Как тогда должно бы выглядеть преобразования Лоренца $ L $ в комплексном виде?
Т.е. $ A ' = L( A )$ ( ?$ A ' = L( A, \check A )$ ?? ), где $1/2((A ')^2+(\check A ')^2)=S^2$, и $ A'=x'+t'i$,$ \check A' =x'-t'i$.

Если было бы можно найти преобразования Лоренца в обычных комплексных числах...
Кто-нибудь может помочь?

[D.M. from Ukraine]

Алгебраические кватернионные уравнения с только левыми или только правыми коэффициентами довольно подробно изучены в статье:

A. Pogorui, M. Shapiro. On the structure of the set of the zeros of quaternionic polynomials. // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2004. - Vol. 49, no. 6. - P. 379-389.

Если коэффициенты могут быть где угодно, теория значительно усложняется, даже для квадратных уравнений. Попытки изучения некоторых случаев сделаны в статье:

D. Mierzejewski, V. Szpakowski. On solutions of some types of quaternionic quadratic equations. // Bulletin de la Societe des Sciences et des Lettres de Lodz. Serie: Recherches sur les Deformations. - 2008. - Vol. 55. - P. 23-32.

В том же журнале "Bulletin de la Societe..." в ближайшие месяцы могут выйти статьи тех же авторов (но по отдельности) с дальнейшими исследованиями этой тематики.

Вообще-то, для решения КОНКРЕТНОГО уравнения всегда годится способ тупого перехода к системе 4 вещественных уравнений, но эта система может оказаться очень сложной.

[nestoklon]

PSP в сообщении #109168 писал(а):

Если было бы можно найти преобразования Лоренца в обычных комплексных числах...
Кто-нибудь может помочь?

Разберите как строится уравнение Дирака и будет вам счастье.
Так повелось, что работать с самими кватернионами не очень удобно. Поэтому обычно в физике всю эту науку записывают на языке матриц Паули (ну или Дирака, но это уже покруче кватернионов будет).

Надо понять одну простую вещь -- кватернионная алгебра изоморфна алгебре, построенной на матрицах паули.

[Vitalii Shpakivskyi]

1) Я построил восьмимерную некоммутативную алгебру на матрицах Дирака. Эта алгебра содержит в себе в качестве подалгебр алгебры кватернионов, антикватернионов и бикомплексных чисел. Также есть некоторые элементы анализа в этих числах. Если Вас интересуют эти вопросы, отправте на форум сообщение.

2) Имеется также моя статья по квадратным кватернионным уравнениям вида $\sum\limits_{p=1}^{n}a_{p}x^{2}b_{p}+\sum\limits_{m=1}^{r}c_{m}xd_{m}x+\sum\limits_{t=1}^{\ell}f_{t}xg_{t}=h,$ где $\{a_{p};b_{p};c_{m};d_{m};f_{t};g_{t};h;x\}$ -- кватернионы поданная в «Bulletin de la Société des Sciences et des Lettres de Łódź».

3) Кроме этого, в упомянутом выше журнале за 2008-2009 года есть две статьи D. Mierzejewski по квадратным кватернионным уравнениям.