2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Квадратное уравнение и кватерионы
Сообщение21.03.2008, 10:37 
Аватара пользователя
Пусть дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0.$,где a,b,c,x \in \mathbb K-кватерионы.
Возникают вопросы:
1.Как решить такое уравнение?
2.Есть ли разница между решениями вот таких уравнений:
$x^2a+bx+c=0.$,
$ax^2+xb+c=0.$,
$x^2a+xb+c=0.$,
3.Можно ли предположить, что норма(модуль) всех решений этих уравнений одна?

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 10:47 
Аватара пользователя
А в чем собственно проблема с решением? бред удален

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 10:48 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
А в чем собственно проблема с решением? Поле кватернионов алгебраически замкнуто, квадратное уравнение решается по той же самой "школьной" формуле и всегда имеет два корня.

А в том, что вроде бы кватериноы ведь некоммутативны...

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 11:03 
Аватара пользователя
Да, подзабыл я алгебру :x
Но тем не менее, что мешает умножить уравнение на $a^{-1}$ (слева или справа), свести его унитарному, и опять же воспользоваться школьными формулами?
Лучше все операции производить в матричном представлении. Самое сложное будет извлечение корня - но для матриц такая процедура известна.

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 11:11 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Да, подзабыл я алгебру :x
Но тем не менее, что мешает умножить уравнение на $a^{-1}$ (слева или справа), свести его унитарному, и опять же воспользоваться школьными формулами?
Лучше все операции производить в матричном представлении. Самое сложное будет извлечение корня - но для матриц такая процедура известна.

Мне кажется, не всё так просто..Например:
2.Есть ли разница между решениями вот таких уравнений:
$ax^2+bx+c=0.$,
$x^2a+bx+c=0.$,
$ax^2+xb+c=0.$,
$x^2a+xb+c=0.$,
?
Ведь при "умножить уравнение на $a^{-1}$ (слева или справа)" результат решения вроде бы будет разный?Или я ошибаюсь?

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 11:14 
Аватара пользователя
"Слева или справа" определяется в зависимости от того где стоит $a$: перед $x^2$ или после.

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 11:18 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
"Слева или справа" определяется в зависимости от того где стоит $a$: перед $x^2$ или после.

А как же $b$: перед $x$ или после...это ж тоже имеет значение,..? По моему..

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 11:42 
Аватара пользователя
Вы бы сначала разобрались с одним уравнением, а потом бы уже коэффициенты всячески переставляли.

Вот вам статья 1930 года самого Литтлвуда по теме таких квадратных уравнений (а до кучи еще и статья об уравнениях более высоких порядков).

И, кстати, в матричной форме такие уравнения, похоже, тоже хорошо изучены. Сходу на пару таких статеек вышел:
http://citeseer.ist.psu.edu/237104.html
http://www.math.cuhk.edu.hk/conference/ ... /bini.html

Добавлено спустя 4 минуты 23 секунды:

Оказывается, это другой Литтлвуд, но сути это не меняет :lol:

 
 
 
 
Сообщение22.03.2008, 01:25 
Аватара пользователя
Оказывается, эту тему поднимали и здесь :D

 
 
 
 
Сообщение27.03.2008, 14:11 
Аватара пользователя
Кстати, оказываются, существуют и другие системы, кроме кватерионов: Системы чисел
А как для них будет решаться квадратное уравнение?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2008, 15:14 
Аватара пользователя
Возьмите да распишите, коли охота. На мой вкус, когда летит к чёрту ассоциативность и деление, всё становится донельзя омерзительно. Это не числа, а какие-то незаконнорожденные уродцы.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2008, 15:52 
Аватара пользователя
ИСН писал(а):
Возьмите да распишите, коли охота. На мой вкус, когда летит к чёрту ассоциативность и деление, всё становится донельзя омерзительно. Это не числа, а какие-то незаконнорожденные уродцы.

Вы правы, но приходися прибегать к думам об этих уродцах Проблема вот в этом..

Цитата:
Интервал СТО в комплексном виде может быть записан так:
$1/2((A)^2+(\check A)^2)=S^2$,где $\check A$ -комплексное для $ A$сопряжение и $ A=x+ti$,$ \check A =x-ti$.
Как тогда должно бы выглядеть преобразования Лоренца $  L  $ в комплексном виде?
Т.е. $ A ' = L( A )$ ( ?$ A ' = L( A, \check A )$ ?? ), где $1/2((A ')^2+(\check A ')^2)=S^2$, и $ A'=x'+t'i$,$ \check A' =x'-t'i$.

Если было бы можно найти преобразования Лоренца в обычных комплексных числах...
Кто-нибудь может помочь?

 
 
 
 
Сообщение29.11.2008, 00:40 
Алгебраические кватернионные уравнения с только левыми или только правыми коэффициентами довольно подробно изучены в статье:

A. Pogorui, M. Shapiro. On the structure of the set of the zeros of quaternionic polynomials. // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2004. - Vol. 49, no. 6. - P. 379-389.

Если коэффициенты могут быть где угодно, теория значительно усложняется, даже для квадратных уравнений. Попытки изучения некоторых случаев сделаны в статье:

D. Mierzejewski, V. Szpakowski. On solutions of some types of quaternionic quadratic equations. // Bulletin de la Societe des Sciences et des Lettres de Lodz. Serie: Recherches sur les Deformations. - 2008. - Vol. 55. - P. 23-32.

В том же журнале "Bulletin de la Societe..." в ближайшие месяцы могут выйти статьи тех же авторов (но по отдельности) с дальнейшими исследованиями этой тематики.

Вообще-то, для решения КОНКРЕТНОГО уравнения всегда годится способ тупого перехода к системе 4 вещественных уравнений, но эта система может оказаться очень сложной.

 
 
 
 
Сообщение29.11.2008, 11:42 
PSP в сообщении #109168 писал(а):
Если было бы можно найти преобразования Лоренца в обычных комплексных числах...
Кто-нибудь может помочь?

Разберите как строится уравнение Дирака и будет вам счастье.
Так повелось, что работать с самими кватернионами не очень удобно. Поэтому обычно в физике всю эту науку записывают на языке матриц Паули (ну или Дирака, но это уже покруче кватернионов будет).

Надо понять одну простую вещь -- кватернионная алгебра изоморфна алгебре, построенной на матрицах паули.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение и кватерионы
Сообщение12.07.2009, 12:59 
1) Я построил восьмимерную некоммутативную алгебру на матрицах Дирака. Эта алгебра содержит в себе в качестве подалгебр алгебры кватернионов, антикватернионов и бикомплексных чисел. Также есть некоторые элементы анализа в этих числах. Если Вас интересуют эти вопросы, отправте на форум сообщение.

2) Имеется также моя статья по квадратным кватернионным уравнениям вида $\sum\limits_{p=1}^{n}a_{p}x^{2}b_{p}+\sum\limits_{m=1}^{r}c_{m}xd_{m}x+\sum\limits_{t=1}^{\ell}f_{t}xg_{t}=h,$ где $\{a_{p};b_{p};c_{m};d_{m};f_{t};g_{t};h;x\}$ -- кватернионы поданная в «Bulletin de la Société des Sciences et des Lettres de Łódź».

3) Кроме этого, в упомянутом выше журнале за 2008-2009 года есть две статьи D. Mierzejewski по квадратным кватернионным уравнениям.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group