Вопрос про дивергенцию.

[Nirowulf]

Здравствуйте!

Возник такой вопрос, хочется понять, при каких условиях, верно следующее утверждение:

$$ \partial_\mu f^\mu =0 \Leftrightarrow f^\mu=\partial_\nu A^{\mu \nu}, $$

где $A^{\mu \nu}$ есть некоторый антисимметричный тензор $2$-ранга.

В частности, как я понимаю, в случае $3$-мерного вектора $f^\mu$ вопрос сводится к вопросу о том, верно ли то, что если дивергенция вектора равна нулю, то вектор есть некий ротор. В Вики вычитал, что для $3$-мерного случая это всегда так в случае тривиальной топологии.

Интересует, при каких условиях это верно в общем случае или хотя бы в $4$-мерном.

Спасибо!

[Munin]

Очень хороший вопрос. Решается он переформулировкой на языке дифференциальных форм.
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology#Harmonic_forms
Идея в том, что для каждой замкнутой $k$-формы $\omega$ существует разложение

$\omega=d\alpha+\gamma,\quad\textit{при некотором \(\gamma\) таком, что}\,\,\Delta\gamma=0.$

В любой размерности. (Здесь $\delta=(-1)^k\,\star^{-1}d\star$ - оператор кодифференциала, понижающий степень формы на единичку, и $\Delta=(\delta+d)^2=\delta d+d\delta.$)

Подставляя $k=n-1,$ получаем соответствующее выражение для векторной функции. Что такое $\gamma$? Это некоторое дополнительное гармоническое слагаемое, зависящее от топологии области. При тривиальной топологии оно равно нулю. Оно не равно нулю, если не равно нулю $k$-е (то есть, $(n-1)$-е) число Бетти области. Например:

- в 2-мерном случае - если есть выколотые точки или фигуры;
- в 3-мерном случае - если есть выколотые точки или фигуры;
- в 4-мерном случае - если есть выколотые точки или фигуры...

Каждое такое $\gamma$ уникально с точностью до $\beta_k$ параметров, где $\beta_k$ - число Бетти:

$\gamma=a_1\gamma_1+a_2\gamma_2+\ldots,$

где $a_i$ - контурный интеграл вокруг заданной особенности.

Кажется, так.

[Munin]

Возился я вчера, возился... И никто не пришёл обругать меня, что я неправ. Даже как-то обидно :-)

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1078627 писал(а):

Возился я вчера, возился... И никто не пришёл обругать меня, что я неправ. Даже как-то обидно

А не нужно кидаться на столь безобразно сформулированный вопрос. В каких терминах предполагается ответ? В терминах групп когомологий носителя? В терминах "дырок и проколов" в носителе? В конце концов, где вообще все это происходит: в многомерной евклидовой области, на римановом многообразии, в римановом пространстве или еще где? Вот и не кидаются другие отвечать, да и лень ковыряться в данном вами ответе, когда столько неясностей в вопросе...
Не всякому охота из ТС клещами уточняющие детали тащить, раз некто поленился по-человечески задать свой вопрос, то пусть в живую столкнется с отсутствием ответа. Возможно, тогда и появится желание аккуратно формулировать вопрос.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1078672 писал(а):

В конце концов, где вообще все это происходит: в многомерной евклидовой области, на римановом многообразии, в римановом пространстве или еще где?

Мне вполне ясно, где это происходит: в физике. Я ТС уже видел в физических темах. Так что, речь идёт о многомерной области, не обязательно евклидовой: иногда псевдоевклидовой. Можно обсудить и римановы многообразия, но это сложней.