Насчёт связанных и свободных переменных я понял, спасибо за разъяснение. Но тогда выражения
![$\forall x(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ $\forall x(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/1/411d4c5844fa95aeb84c0d1ecbeebf6382.png)
и
![$(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ $(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/5/5e542642f6b40353e5f2a77eac4e18ff82.png)
полностью эквивалентны.
Почему
пока тогда?
Имеется в виду "тогда из вашего объяснения, что такое свободные и связанные переменные, следует".
Чтобы проверить правильно ли составлено определение в логической символике, воспроизведите его на русский язык.
Если модуль разности
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
меньше
![$\delta$ $\delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/f/38f1e2a089e53d5c990a82f28494895382.png)
, то модуль разности значений функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
в точках
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
меньше
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
.
-- 30.11.2015, 22:18 --Нет, такого "поэтому" тут ставить нельзя
Спасибо за замечание по существу. Теперь я разобрался с этим примером.
По определению отображение
![$f: X \rightarrow Y$ $f: X \rightarrow Y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/d/8dd51bd31b996f66d97db221486b70a582.png)
является непрерывным на множестве
![$A \subset X$ $A \subset X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/0/490354b6dd4ff6c45cdff8ca4c9db5fc82.png)
, если сужение отображения
![$f_A: A \rightarrow Y$ $f_A: A \rightarrow Y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/7830ccb489b1866992f6094437371db182.png)
непрерывно в каждой точке пространства
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
.
Поэтому, если
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
непрерывна на
![$E_1 \cup E_2$ $E_1 \cup E_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/6/426c1a717d335da9cc109c5abf4a6da982.png)
, то она, конечно, будет непрерывна отдельно на
![$E_1$ $E_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/5/cc5d1b1ed1bb46a5b9c4cb510b29c8d882.png)
и на
![$E_2$ $E_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/6/be655e6ff5e921809983a59b05ec05b482.png)
. Но обратное неверно.
Например,
![$f(x) = \begin{cases} 0, \quad x < 0 \\ 1, \quad x \geqslant 0 \end{cases} $ $f(x) = \begin{cases} 0, \quad x < 0 \\ 1, \quad x \geqslant 0 \end{cases} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/1/141e1135ea0fca47c15a0826c6c002bf82.png)
будет непрерывна на множествах
![$(-\infty, 0)$ $(-\infty, 0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/2/5d23d4b7bfe4d06b847af9709c61ceb882.png)
и
![$[0, \infty]$ $[0, \infty]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/4/204af9b1b98ef10c0e22493943872e7782.png)
, но будет иметь разрыв на их объединении в точке 0.