Условие непрерывности функции

[Someone]

qx87 в сообщении #1078245 писал(а):

Я задаю функции $\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)$, определённые для $\forall \varepsilon > 0$.

И делаете это логически неправильно.

[gefest_md]

qx87 в сообщении #1078245 писал(а):

Насчёт связанных и свободных переменных я понял, спасибо за разъяснение. Но тогда выражения $\forall x(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ и $(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ полностью эквивалентны.

Почему пока тогда? Если $A(x)$ - теорема, то она эквивалентна $\forall x A(x)$. А $(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ теорема, что ли?

qx87 в сообщении #1078245 писал(а):

Нет никакого смысла писать квантор перед $x$, потому что она итак связывается посылкой импликации.

Чтобы проверить правильно ли составлено определение в логической символике, воспроизведите его на русский язык. Если понравится, тогда нормально.

[VanD]

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

gefest_md в сообщении #1077468

писал(а):
Пусть $f\colon X\to \mathbb{R}$ и $E_1, E_2\subseteq X$. Верно ли, что $f$ непрерывна на $E_1$ и $E_2$ тогда и только тогда, когда $f$ непрерывна на $E_1\cup E_2$?

Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества. Поэтому да.

Нет, такого "поэтому" тут ставить нельзя (непрерывность в точке по подмножеству не то же, что по множеству), да и ответ на вопрос будет "нет".
В изначальном примере даны отрезки - замкнутые подмножества. Это удачно ограничивает общность.

[qx87]

gefest_md в сообщении #1078303 писал(а):

qx87 в сообщении #1078245 писал(а):

Насчёт связанных и свободных переменных я понял, спасибо за разъяснение. Но тогда выражения $\forall x(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ и $(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ полностью эквивалентны.

Почему пока тогда?

Имеется в виду "тогда из вашего объяснения, что такое свободные и связанные переменные, следует".

gefest_md в сообщении #1078303 писал(а):

Чтобы проверить правильно ли составлено определение в логической символике, воспроизведите его на русский язык.

Если модуль разности $x$ и $b$ меньше $\delta$, то модуль разности значений функции $f$ в точках $x$ и $b$ меньше $\varepsilon$.

-- 30.11.2015, 22:18 --

VanD в сообщении #1078347 писал(а):

Нет, такого "поэтому" тут ставить нельзя

Спасибо за замечание по существу. Теперь я разобрался с этим примером.

По определению отображение $f: X \rightarrow Y$ является непрерывным на множестве $A \subset X$, если сужение отображения $f_A: A \rightarrow Y$ непрерывно в каждой точке пространства $A$.

Поэтому, если $f$ непрерывна на $E_1 \cup E_2$, то она, конечно, будет непрерывна отдельно на $E_1$ и на $E_2$. Но обратное неверно.

Например, $f(x) = \begin{cases} 0, \quad x < 0 \\ 1, \quad x \geqslant 0 \end{cases} $ будет непрерывна на множествах $(-\infty, 0)$ и $[0, \infty]$, но будет иметь разрыв на их объединении в точке 0.

[gefest_md]

qx87 в сообщении #1078393 писал(а):

Если модуль разности $x$ и $b$ меньше $\delta$, то модуль разности значений функции $f$ в точках $x$ и $b$ меньше $\varepsilon$.

Можно ещё более по-русски, и как раз тогда фраза будет содержать минимальное количество нерусских букв: $f$ и $b$.

[qx87]

Вот, рущще некуда:

Если модуль разности ха и бэ меньше дэ, то модуль разности значений функции эф в точках ха и бэ меньше е.

[gefest_md]

А как скажете определение целиком?

-- Пн ноя 30, 2015 22:28:07 --

Кстати у Клини прочитал, что связанные переменные называются ещё кажущимися, а свободные - действительными. Напишите определение непрерывности словесно и может быть и Вы согласитесь с таким пониманием свободных и связанных переменных.

[qx87]

Да я не спорю с Вашим пониманием. Я понял, что связанные переменные -- это те, которые вводятся для того, чтобы сформулировать определение, поэтому они связываются условиями. Раньше о таком не слышал, спасибо за просвещение.

Извините, но желания дальше спорить об очевидных вещах (вроде того, обязательно ли где-то написать квантор) у меня нет. Я лишь спрашивал, есть ли ошибки в моём рассуждении. А в ответ меня либо заставляют доказывать по-другому, либо просят явно указать, что дважды два все ещё равно четыре, считая без этого ответ ошибкой.

Тем не менее, в теме я разобрался, всем большое спасибо. В особенности -- VanD за действительно важное замечание. Которое, в общем-то, всё и прояснило.