Являются ли функции характеристическими?

[RabbitXO]

toreto в сообщении #1077957 писал(а):

Спасибо! Понятно, $\cos^2x$ аналогично можно сделать.

А если, например, вот такие функция проверять -- характеристические ли они?

1) $\varphi(x)=\dfrac{1}{1+x^4}$

Теорема Пойа(Полиа).

[toreto]

Точно, спасибо, ведь $y''=\dfrac{4x^2(5x^4-3)}{(x^4+1)^3}>0$ для $\forall x>0$

[ewert]

toreto в сообщении #1078135 писал(а):

Точно, спасибо, ведь $y''=\dfrac{4x^2(5x^4-3)}{(x^4+1)^3}>0$ для $\forall x>0$

Пожалуйста, конечно; только последнее совершенно не в тему (не говоря уж о том, что неверно; но это даже и не важно). Чему она в нуле-то равна?... и чему, соотв., равна дисперсия?...

[toreto]

ewert в сообщении #1078165 писал(а):

toreto в сообщении #1078135 писал(а):

Точно, спасибо, ведь $y''=\dfrac{4x^2(5x^4-3)}{(x^4+1)^3}>0$ для $\forall x>0$

Пожалуйста, конечно; только последнее совершенно не в тему (не говоря уж о том, что неверно; но это даже и не важно). Чему она в нуле-то равна?... и чему, соотв., равна дисперсия?...

Нулю. А почему не в тему, как раз в тему, вроде

Пой:

Всякая чётная функция $\varphi(t)$, непрерывная в нуле, ограниченная, неотрицательная и выпуклая при $t > 0$ является характеристической функцией

[ewert]

Во-первых: заведомо не всякая. А во-вторых: так чему дисперсия-то этой конкретной СВ равна (в смысле должна бы была быть равна)?...

[toreto]

ewert в сообщении #1078175 писал(а):

Во-первых: заведомо не всякая. А во-вторых: так чему дисперсия-то этой конкретной СВ равна (в смысле должна бы была быть равна)?...

Так написано в википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B9%D0%B0

-- 30.11.2015, 02:17 --

$\varphi_{\xi}^{(k)}(0)=i^k\mathbb{E}\xi^2$

$\varphi'(0)=0$

$\varphi''(0)=0$

$\mathbb{D}\xi=\mathbb{E}\xi^2-\left(\mathbb{E}\xi\right)=0-0^2=0$

[ewert]

Ну мало ли какое слово на заборе написано. Но, кстати, Вы мне так и не ответили: так чему же равна дисперсия?...

А на этот вопрос, между прочим, Вы обязаны отвечать сходу и на автомате. Он -- гораздо принципиальнее, чем угадывание характеристичности функций.

-- Пн ноя 30, 2015 02:22:36 --

toreto в сообщении #1078182 писал(а):

$\mathbb{D}\xi=\mathbb{E}\xi^2-\left(\mathbb{E}\xi\right)=0-0^2=0$

А, ответили-таки; хорошо. Ну так: если дисперсия нулевая -- так что это за СВ?... и чему равна её ХФ?... и совпадает ли она с заданной?...

[toreto]

ewert в сообщении #1078185 писал(а):

Ну мало ли какое слово на заборе написано. Но, кстати, Вы мне так и не ответили: так чему же равна дисперсия?...

А на этот вопрос, между прочим, Вы обязаны отвечать сходу и на автомате. Он -- гораздо принципиальнее, чем угадывание характеристичности функций.

-- Пн ноя 30, 2015 02:22:36 --

toreto в сообщении #1078182 писал(а):

$\mathbb{D}\xi=\mathbb{E}\xi^2-\left(\mathbb{E}\xi\right)=0-0^2=0$

А, ответили-таки; хорошо. Ну так: если дисперсия нулевая -- так что это за СВ?... и чему равна её ХФ?... и совпадает ли она с заданной?...

Тогда это константа. Характеристическая функция константы есть дельта функция Дирака $2\pi C\delta(x)$. Таки несостыковочка, тогда не является исходная функция характеристической.

[Otta]

toreto в сообщении #1078192 писал(а):

Характеристическая функция константы есть дельта функция Дирака $2\pi C\delta(x)$.

Прям.

[ewert]

В смысле идея правильна, но её реализация -- не годится.

[toreto]

Ну а как?

$\varphi(x)=C\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\,dt=C\cdot 2\pi\delta(x)$

[Otta]

По определению. Интегралы для вычисления чего-то там не всегда можно употреблять.

[toreto]

$\phi_\xi(t) = \mathbb{E} \left[e^{it\xi}\right]=\mathbb{E} \left[e^{itC}\right]=e^{itC}\ne \dfrac{1}{1+x^4}$

Так ведь?

[Otta]

Еще бы они совпали, для разных аргументов )) Буковку-то поправьте. И будет так.
Вообще говоря, константа там не произвольная, а вполне определенная получается.

[toreto]

$\phi_\xi(t) = \mathbb{E} \left[e^{it\xi}\right]=\mathbb{E} \left[e^{itC}\right]=e^{itC}\ne \dfrac{1}{1+t^4}$

Так ведь? Я так понимаю, что константа $0$, потому как ее матожидание ноль.

$\phi_\xi(t) = \mathbb{E} \left[e^{it\xi}\right]=\mathbb{E} \left[e^{it0}\right]=1\ne \dfrac{1}{1+t^4}$

Спасибо!