Характеристическая функция нормального распределения.

[toreto]

Характеристическая функция нормального распределения. Вроде как знаю -- как вычислять, но почему-то не сходится с ответом на википедии. Там должно получится $\phi_X\left(t\right)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$, судя по вики, у меня иначе, ошибку не вижу, можете подсказать, пожалуйста!

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\dfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right)$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-ixt-\dfrac{(t-a)^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{t^2-2at+a^2+2ixt\sigma^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{t^2+2(ix\sigma^2-a)t+a^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{t^2+2(ix\sigma^2-a)t+(ix\sigma^2-a)^2-(ix\sigma^2-a)^2+a^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{t^2+2(ix\sigma^2-a)t+(ix\sigma^2-a)^2-(ix\sigma^2-a)^2+a^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{t^2+2(ix\sigma^2-a)t+(ix\sigma^2-a)^2-(ix\sigma^2-a)^2+a^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{(t+ix\sigma^2-a)^2-(ix\sigma^2-a)^2+a^2}{2\sigma^2}\right)dt$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(\dfrac{(ix\sigma^2-a)^2-a^2}{2\sigma^2}\right)\cdot \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\cdot \sigma$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{2}\exp\left(\dfrac{(ix\sigma^2-a)^2-a^2}{2\sigma^2}\right)$

[Otta]

Найдите сперва для стандартного нормального.

[toreto]

Otta в сообщении #1077520 писал(а):

Найдите сперва для стандартного нормального.

Спасибо. Там получилось $\varphi (x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$.

А дальше сдвиг и растяжение? Но а в чем у меня ошибка в вычислениях, подскажите, пожалуйста!

[Otta]

Да все там нормально. $\sqrt{\pi/2}$ только неправильный. Да и считая интеграл, надо где-то успеть заметить, что в какой-то момент он уже не вполне интеграл Эйлера-Пуассона. Потому что если честно, и если делать замену - то Вы уходите с интегрирования по вещественной прямой на интегрирование по прямой, ей параллельной. Тут надо просто показать, что эти два интеграла совпадут. Это делается стандартно - выбирается правильный контур, прямоугольный в данном случае и дальше по теореме Коши, с последующим предельным переходом.

Но это нужно делать и при вычислении х.ф. для стандартного нормального распределения.

Ответ же правильный, если исправить неправильно вспомненное значение интеграла Эйлера.

[toreto]

Спасибо! Но разве совпадает?

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(\dfrac{(ix\sigma^2-a)^2-a^2}{2\sigma^2}\right)\cdot \sqrt{\pi}\cdot \sigma$

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\dfrac{(ix\sigma^2-a)^2-a^2}{2\sigma^2}\right)$

[Otta]

$\sqrt\pi$ - тоже неверно. А показатель экспоненты - упростите, что ж.

[toreto]

Otta в сообщении #1077648 писал(а):

$\sqrt\pi$ - тоже неверно. А показатель экспоненты - упростите, что ж.

Но, ведь из великой и могучей википедии.

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$

[Otta]

Ага. И что?

[toreto]

Все, тут все вышло, спасибо!