Ленточный определитель

[Andrey_Kireew]

ширина ленты не меняется, но в последней строке ненулевых элементов меньше чем в предпоследней и т.д., в общем примерно вот такая матрица у меня:
$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & e_1 & 0& 0& 0& 0& 0\\ b_1 & a_2 & b_2 & c_2&d_2 & e_2 & 0& 0& 0& 0\\ c_1 & b_2 & a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & e_3& 0& 0& 0\\ d_1 & c_2 & b_3 & a_4 & d_3 & b_4 & d_4 & e_4& 0& 0\\ e_1 & d_2 & c_3 & b_4 & a_5 & b_5 & c_5 & d_5 & e_5& 0\\ 0 & e_2 & d_3 & c_4 & b_5 & a_6 & b_6 & c_6 & d_6 & e_6\\ 0 & 0 & e_3 & d_4 & c_5 & b_6 & a_7 & b_7 & c_7 & d_7 \\ 0 & 0 & 0 & e_4 & d_5 & c_6 & b_7 & a_8 & b_8 & c_8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e_5 & d_6 & c_7 & b_8 & a_9 & b_9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_6 & d_7 & c_8 & b_9 & a_{10}\\ \end{pmatrix}$

[Sonic86]

Ну вот получается, что если расписать этот определитель, в формуле будет не более $4^6\cdot 4! \approx 10^5$ слагаемых
Я не думаю, что реально там сильно меньше слагаемых.
У Вас, оказывается, матрица симметрична, но это сильно не облегчает дело.

[Andrey_Kireew]

Sonic86 в сообщении #1077714 писал(а):

Ну вот получается, что если расписать этот определитель, в формуле будет не более $4^6\cdot 4! \approx 10^5$ слагаемых
Я не думаю, что реально там сильно меньше слагаемых.

насчитал примерно 35 000, очень неприятно...

как думаете а можно вообще этот определитель представить хоть каким то мало-мальски компактным аналитическим выражением?
ведь число независимых переменных там совсем небольшое $(n-1)n/2$

[B@R5uk]

Andrey_Kireew в сообщении #1077758 писал(а):

можно вообще этот определитель представить хоть каким то мало-мальски компактным аналитическим выражением?

В виде определителя матрицы вестимо. Нет смысла преобразовывать то, что уже компактно записано.

Что вы хотите сделать после того, как найдёте обратную матрицу? Если хотите подставить значения, чтобы получить число, то тогда нет никакого смысла выписывать компоненты обратной матрицы: её значение считается гораздо быстрее с помощью метода Гаусса.

[Andrey_Kireew]

B@R5uk в сообщении #1077796 писал(а):

Что вы хотите сделать после того, как найдёте обратную матрицу? Если хотите подставить значения, чтобы получить число, то тогда нет никакого смысла выписывать компоненты обратной матрицы: её значение считается гораздо быстрее с помощью метода Гаусса.

если бы число, я бы себе голову не забивал, но мне нужно ещё её дифференцировать
пока я нашел только такой способ обойтись без аналитического выражения
$\frac{\partial A^{-1}}{\partial\theta}=A^{-1}\frac{\partial A}{\partial \theta}A^{-1}$,
но он вообще мне не очень нравится, с аналитическим выражением было бы всё намного лучше, к тому же его можно было бы как то интерпретировать

[Евгений Машеров]

А что у Вас независимые переменные? Я было подумал, что элементы матрицы полиномы от некоей общей для них переменной, такая задача возникает, скажем, в теории устойчивости.

[B@R5uk]

Со знаком ошиблись, поправил:

Andrey_Kireew в сообщении #1077804 писал(а):

$$\frac{\partial A^{-1}}{\partial\theta}=-A^{-1}\frac{\partial A}{\partial \theta}A^{-1}$$

Между прочим, очень достойное выражение. Его анализировать будет всяко легче, чем 100500 полиномов.

[Евгений Машеров]

В общем, если каждый элемент матрицы является самостоятельной независимой переменной, то аналитическое выражение для производной приведено выше, и лучшего нет.
Если элементы матрицы есть функции от некоторой общей переменной - то лучше всего использовать интерполяцию полиномом от этой переменной (вернее, отношением полиномов).
В самом общем случае придётся расписывать все слагаемые. Не уверен, что это в человеческих силах.

[Andrey_Kireew]

большое Всем спасибо за полезные комментарии!
в итоге обсуждения, я пришел к выводу, что попытки вычисления обратной матрицы в символьном виде увы бесперспективны

думаю, что в принципе для аппроксимации этих определителей можно использовать искусственные нейронные сети (ИНС)
так как зависимости заведомо монотонные, а по теореме Hecht-Nielsen любую гладкую функцию N переменных можно аппроксимировать трёхслойной ИНС с N(2N+1) нейронами в первом слое, 2N+1 нейронами во втором слое и линейным выходным слоем

один из недостатков здесь - это отсутствие прямых формул пересчёта коэффициентов, параметры ИНС придётся определять в ходе трудоёмкой итеративной процедуры

что вы думаете по этому поводу? нет ли здесь каких то подводных камней?
вообще, будучи под впечатлением от работ Горбаня http://nova.rambler.ru/cl?rex=521FC130C9D8774F&block=serp&st=1448814435&id=title_1&rnd=0.7012483696453273&key=nPfTRJe25EU-HuEEhztA_1YtzXnQVSoCzPBSssdnNkdGITL5CqZFkRHA8hC4gZgrEZGhCwGpQh8JZWyEXlbiDiiz2f56R9GOwyxWeCxrUKbcS_RqXZ8x3trDWVQJIoaS1LCLX9hnBiIusU14GcOEmlN4I1wIJx-B3y1TAuyWHQM=&_URL=http%3A%2F%2Fneuroschool.narod.ru%2Fpub%2Fsibzhvm98.pdfя уже пробовал аппроксимировать такие определители двухслойными ИНС со степенной функцией активации. Результаты получились прямо скажем - не очень. Для 20 входных переменных и 100 нейронов 2-го слоя ошибка на выходе была не менее 1%. Но хуже всего то, что распределение ошибок сильно отличалось от нормального, следовательно и модель эта явно не адекватная
Теперь вот подумал, что может трёхслойная сеть сможет дать хорошие результаты