2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение28.11.2015, 19:40 


07/10/15

2400
ширина ленты не меняется, но в последней строке ненулевых элементов меньше чем в предпоследней и т.д., в общем примерно вот такая матрица у меня:
$\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & e_1 & 0& 0& 0& 0& 0\\
b_1 & a_2 & b_2 & c_2&d_2 & e_2 & 0& 0& 0& 0\\
c_1 & b_2 & a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & e_3& 0& 0& 0\\
d_1 & c_2 & b_3 & a_4 & d_3 & b_4 & d_4 & e_4& 0& 0\\
e_1 & d_2 & c_3 & b_4 & a_5 & b_5 & c_5 & d_5 & e_5& 0\\
0    & e_2 & d_3 & c_4 & b_5 & a_6 & b_6 & c_6 & d_6 & e_6\\
0    & 0     & e_3 & d_4 & c_5 & b_6 & a_7 & b_7 & c_7 & d_7 \\
0    & 0     & 0     & e_4 & d_5 & c_6 & b_7 & a_8 & b_8 & c_8 \\
0    & 0     & 0     & 0 &     e_5 & d_6 & c_7 & b_8 & a_9 & b_9 \\
0    & 0     & 0     & 0 &     0 &     e_6 & d_7 & c_8 & b_9 & a_{10}\\


\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение28.11.2015, 20:32 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Ну вот получается, что если расписать этот определитель, в формуле будет не более $4^6\cdot 4! \approx 10^5$ слагаемых :roll:
Я не думаю, что реально там сильно меньше слагаемых.
У Вас, оказывается, матрица симметрична, но это сильно не облегчает дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение28.11.2015, 22:12 


07/10/15

2400
Sonic86 в сообщении #1077714 писал(а):
Ну вот получается, что если расписать этот определитель, в формуле будет не более $4^6\cdot 4! \approx 10^5$ слагаемых :roll:
Я не думаю, что реально там сильно меньше слагаемых.


насчитал примерно 35 000, очень неприятно...

как думаете а можно вообще этот определитель представить хоть каким то мало-мальски компактным аналитическим выражением?
ведь число независимых переменных там совсем небольшое $(n-1)n/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение29.11.2015, 01:25 
Аватара пользователя


26/05/12
1274
приходит весна?
Andrey_Kireew в сообщении #1077758 писал(а):
можно вообще этот определитель представить хоть каким то мало-мальски компактным аналитическим выражением?
В виде определителя матрицы вестимо. Нет смысла преобразовывать то, что уже компактно записано.

Что вы хотите сделать после того, как найдёте обратную матрицу? Если хотите подставить значения, чтобы получить число, то тогда нет никакого смысла выписывать компоненты обратной матрицы: её значение считается гораздо быстрее с помощью метода Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение29.11.2015, 02:11 


07/10/15

2400
B@R5uk в сообщении #1077796 писал(а):

Что вы хотите сделать после того, как найдёте обратную матрицу? Если хотите подставить значения, чтобы получить число, то тогда нет никакого смысла выписывать компоненты обратной матрицы: её значение считается гораздо быстрее с помощью метода Гаусса.


если бы число, я бы себе голову не забивал, но мне нужно ещё её дифференцировать
пока я нашел только такой способ обойтись без аналитического выражения
$\frac{\partial A^{-1}}{\partial\theta}=A^{-1}\frac{\partial A}{\partial \theta}A^{-1}$,
но он вообще мне не очень нравится, с аналитическим выражением было бы всё намного лучше, к тому же его можно было бы как то интерпретировать

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение29.11.2015, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7943
Москва
А что у Вас независимые переменные? Я было подумал, что элементы матрицы полиномы от некоей общей для них переменной, такая задача возникает, скажем, в теории устойчивости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение29.11.2015, 14:18 
Аватара пользователя


26/05/12
1274
приходит весна?
Со знаком ошиблись, поправил:
Andrey_Kireew в сообщении #1077804 писал(а):
$$\frac{\partial A^{-1}}{\partial\theta}=-A^{-1}\frac{\partial A}{\partial \theta}A^{-1}$$
Между прочим, очень достойное выражение. Его анализировать будет всяко легче, чем 100500 полиномов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение29.11.2015, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7943
Москва
В общем, если каждый элемент матрицы является самостоятельной независимой переменной, то аналитическое выражение для производной приведено выше, и лучшего нет.
Если элементы матрицы есть функции от некоторой общей переменной - то лучше всего использовать интерполяцию полиномом от этой переменной (вернее, отношением полиномов).
В самом общем случае придётся расписывать все слагаемые. Не уверен, что это в человеческих силах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленточный определитель
Сообщение29.11.2015, 19:35 


07/10/15

2400
большое Всем спасибо за полезные комментарии!
в итоге обсуждения, я пришел к выводу, что попытки вычисления обратной матрицы в символьном виде увы бесперспективны

думаю, что в принципе для аппроксимации этих определителей можно использовать искусственные нейронные сети (ИНС)
так как зависимости заведомо монотонные, а по теореме Hecht-Nielsen любую гладкую функцию N переменных можно аппроксимировать трёхслойной ИНС с N(2N+1) нейронами в первом слое, 2N+1 нейронами во втором слое и линейным выходным слоем

один из недостатков здесь - это отсутствие прямых формул пересчёта коэффициентов, параметры ИНС придётся определять в ходе трудоёмкой итеративной процедуры

что вы думаете по этому поводу? нет ли здесь каких то подводных камней?
вообще, будучи под впечатлением от работ Горбаня http://nova.rambler.ru/cl?rex=521FC130C9D8774F&block=serp&st=1448814435&id=title_1&rnd=0.7012483696453273&key=nPfTRJe25EU-HuEEhztA_1YtzXnQVSoCzPBSssdnNkdGITL5CqZFkRHA8hC4gZgrEZGhCwGpQh8JZWyEXlbiDiiz2f56R9GOwyxWeCxrUKbcS_RqXZ8x3trDWVQJIoaS1LCLX9hnBiIusU14GcOEmlN4I1wIJx-B3y1TAuyWHQM=&_URL=http%3A%2F%2Fneuroschool.narod.ru%2Fpub%2Fsibzhvm98.pdfя уже пробовал аппроксимировать такие определители двухслойными ИНС со степенной функцией активации. Результаты получились прямо скажем - не очень. Для 20 входных переменных и 100 нейронов 2-го слоя ошибка на выходе была не менее 1%. Но хуже всего то, что распределение ошибок сильно отличалось от нормального, следовательно и модель эта явно не адекватная
Теперь вот подумал, что может трёхслойная сеть сможет дать хорошие результаты

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group