Поиск производной Фреше

[smog4ik]

Здравствуйте. Нужна помощь с поиском производной Фреше в точке A \in \mathcal{B}(X) оператора F \,\colon \mathcal{B}(X) \mapsto \mathcal{B}(X), F(A) = A^3, где X - нормированное векторное простраство и \mathcal{B}(X) - множество ограниченных операторов, определенных на X.

Моей идея была (dF(A))(B) = A^2B + BA^2 + ABA, B \in \mathcal{B}(X), однако оператор dF(A), будучи линейным, не ограничен, - мешает квадрат: ||dF(A)|| = \sup \limits_{||B|| = 1} ||(dF(A))(B)|| \leqslant 3 ||A||^2.

Заранее спасибо.

[Brukvalub]

smog4ik в сообщении #1077684 писал(а):

мешает квадрат: $||dF(A)|| = \sup \limits_{||B|| = 1} ||(dF(A))(B)|| \leqslant 3 ||A||^2$

А чем именно "мешает квадрат"? (правильность остального я пока не обсуждаю)

[smog4ik]

Brukvalub в сообщении #1077685 писал(а):

smog4ik в сообщении #1077684 писал(а):

мешает квадрат: $||dF(A)|| = \sup \limits_{||B|| = 1} ||(dF(A))(B)|| \leqslant 3 ||A||^2$

А чем именно "мешает квадрат"? (правильность остального я пока не обсуждаю)

Насколько я знаю, для того, чтобы назвать оператор $dF(A)$ ограниченым, я должен показать существование константы $M > 0$, такой что $||dF(A)|| \leqslant M ||A||, \forall A \in \mathcal{B}(X)$.

[dsge]

smog4ik в сообщении #1077686 писал(а):

Насколько я знаю, для того, чтобы назвать оператор $dF(A)$ ограниченым, я должен показать существование константы $M > 0$, такой что $||dF(A)|| \leqslant M ||A||, \forall A \in \mathcal{B}(X)$

Слева и справа разные А. И чего-то не хватает слева.

[smog4ik]

dsge в сообщении #1077689 писал(а):

smog4ik в сообщении #1077686 писал(а):

Насколько я знаю, для того, чтобы назвать оператор $dF(A)$ ограниченым, я должен показать существование константы $M > 0$, такой что $||dF(A)|| \leqslant M ||A||, \forall A \in \mathcal{B}(X)$

Слева и справа разные А. И чего-то не хватает справа.

Не уверен, что понимаю что Вы имеете ввиду.

[Brukvalub]

Вы перепутали аргумент производной и точку, в которой берете производную.

[smog4ik]

Brukvalub в сообщении #1077692 писал(а):

Вы перепутали аргумент производной и точку, в которой берете производную.

Возможно, я запутался, но я думал следующее: мне нужно найти производную в точке $A$, т.е. $dF(A)$, что в свою очередь является оператором (для каждого $A$). Аргументом оператора $dF(A)$ (который я при желании могу обозначить через, скажем, $D$) является $B$.

$\left\lVert dF(A) \right\rVert = \left\lVert D \right\rVert = \sup \limits_{\left\lVert B \right\rVert = 1} \left\lVert D(B) \right\rVert = \sup \limits_{\left\lVert B \right\rVert = 1} \left\lVert A^2 B + B A^2 + ABA \right\rVert \leqslant$ $\sup \limits_{\left\lVert B \right\rVert = 1} \left( \left\lVert A \right\rVert^2 \left\lVert B \right\rVert + \left\lVert B \right\rVert \left\lVert A \right\rVert^2 + \left\lVert A \right\rVert^2 \left\lVert B \right\rVert \right) \leqslant 3 \left\lVert A \right\rVert^2$.

Не должен я иметь в конце число, умноженное на $||A||$, чтобы назвать $dF(A)$ ограниченным?

[Brukvalub]

smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):

Не должен я иметь в конце число, умноженное на $||A||$, чтобы назвать $dF(A)$ ограниченным?

Зачем это, если вы понимаете, что

smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):

Аргументом оператора $dF(A)$ (который я при желании могу обозначить через, скажем, $D$) является $B$.

Норму оператора вы оценили через норму той точки, в которой берете производную, но ведь эта точка на данный момент фиксирована, и такая оценка никак не противоречит линейности оператора.

[smog4ik]

Brukvalub в сообщении #1077695 писал(а):

smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):

Не должен я иметь в конце число, умноженное на $||A||$, чтобы назвать $dF(A)$ ограниченным?

Зачем это, если вы понимаете, что

smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):

Аргументом оператора $dF(A)$ (который я при желании могу обозначить через, скажем, $D$) является $B$.

Норму оператора вы оценили через норму той точки, в которой берете производную, но ведь эта точка на данный момент фиксирована, и такая оценка никак не противоречит линейности оператора.

Понял, спасибо.

[Brukvalub]

smog4ik в сообщении #1077696 писал(а):

Но нет ли у меня тогда проблемы с тем, что я не могу оценить $\left\lVert \left(dF\left(A\right)\right)\left(B\right) \right\rVert$ через $M \left\lVert B \right\rVert$? Могу я все еще назвать $dF\left(A\right)$ ограниченным?

Вы уже получили такую оценку выше. По вашим вопросам видно, что вы не понимаете основ теории линейных операторов, советую вам повторить эти азы.

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1077700 писал(а):

Вы уже получили такую оценку выше. По вашим вопросам видно, что вы не понимаете основ теории линейных операторов, советую вам повторить эти азы.

Или ещё проще: Вы же не говорите что $x^3$ недифференцируема потому что её производная неограниченна. Так же и там: производная : ограниченный линейный оператор $B\to dF(A)(B)$ в данной фиксированной точке (т.е. при данном фиксированном $A$)