2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:10 


09/03/15
11
Здравствуйте. Нужна помощь с поиском производной Фреше в точке A \in \mathcal{B}(X) оператора F \,\colon  \mathcal{B}(X)  \mapsto \mathcal{B}(X), F(A) = A^3, где X - нормированное векторное простраство и \mathcal{B}(X) - множество ограниченных операторов, определенных на X.

Моей идея была (dF(A))(B) = A^2B + BA^2 + ABA, B \in \mathcal{B}(X), однако оператор dF(A), будучи линейным, не ограничен, - мешает квадрат: ||dF(A)|| = \sup \limits_{||B|| = 1} ||(dF(A))(B)|| \leqslant 3 ||A||^2.

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
smog4ik в сообщении #1077684 писал(а):
мешает квадрат: $||dF(A)|| = \sup \limits_{||B|| = 1} ||(dF(A))(B)|| \leqslant 3 ||A||^2$

А чем именно "мешает квадрат"? (правильность остального я пока не обсуждаю)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:20 


09/03/15
11
Brukvalub в сообщении #1077685 писал(а):
smog4ik в сообщении #1077684 писал(а):
мешает квадрат: $||dF(A)|| = \sup \limits_{||B|| = 1} ||(dF(A))(B)|| \leqslant 3 ||A||^2$

А чем именно "мешает квадрат"? (правильность остального я пока не обсуждаю)

Насколько я знаю, для того, чтобы назвать оператор $dF(A)$ ограниченым, я должен показать существование константы $M > 0$, такой что $||dF(A)|| \leqslant M ||A||, \forall A \in \mathcal{B}(X)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:38 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
smog4ik в сообщении #1077686 писал(а):
Насколько я знаю, для того, чтобы назвать оператор $dF(A)$ ограниченым, я должен показать существование константы $M > 0$, такой что $||dF(A)|| \leqslant M ||A||, \forall A \in \mathcal{B}(X)$

Слева и справа разные А. И чего-то не хватает слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:42 


09/03/15
11
dsge в сообщении #1077689 писал(а):
smog4ik в сообщении #1077686 писал(а):
Насколько я знаю, для того, чтобы назвать оператор $dF(A)$ ограниченым, я должен показать существование константы $M > 0$, такой что $||dF(A)|| \leqslant M ||A||, \forall A \in \mathcal{B}(X)$

Слева и справа разные А. И чего-то не хватает справа.

Не уверен, что понимаю что Вы имеете ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Вы перепутали аргумент производной и точку, в которой берете производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 18:49 


09/03/15
11
Brukvalub в сообщении #1077692 писал(а):
Вы перепутали аргумент производной и точку, в которой берете производную.

Возможно, я запутался, но я думал следующее: мне нужно найти производную в точке $A$, т.е. $dF(A)$, что в свою очередь является оператором (для каждого $A$). Аргументом оператора $dF(A)$ (который я при желании могу обозначить через, скажем, $D$) является $B$.

$\left\lVert dF(A) \right\rVert = \left\lVert D \right\rVert = \sup \limits_{\left\lVert B \right\rVert = 1} \left\lVert D(B) \right\rVert = \sup \limits_{\left\lVert B \right\rVert = 1} \left\lVert A^2 B + B A^2 + ABA \right\rVert \leqslant$ $\sup \limits_{\left\lVert B \right\rVert = 1} \left( \left\lVert A \right\rVert^2 \left\lVert B \right\rVert + \left\lVert B \right\rVert \left\lVert A \right\rVert^2 + \left\lVert A \right\rVert^2 \left\lVert B \right\rVert \right) \leqslant 3 \left\lVert A \right\rVert^2$.

Не должен я иметь в конце число, умноженное на $||A||$, чтобы назвать $dF(A)$ ограниченным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):
Не должен я иметь в конце число, умноженное на $||A||$, чтобы назвать $dF(A)$ ограниченным?

Зачем это, если вы понимаете, что
smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):
Аргументом оператора $dF(A)$ (который я при желании могу обозначить через, скажем, $D$) является $B$.

Норму оператора вы оценили через норму той точки, в которой берете производную, но ведь эта точка на данный момент фиксирована, и такая оценка никак не противоречит линейности оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 19:08 


09/03/15
11
Brukvalub в сообщении #1077695 писал(а):
smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):
Не должен я иметь в конце число, умноженное на $||A||$, чтобы назвать $dF(A)$ ограниченным?

Зачем это, если вы понимаете, что
smog4ik в сообщении #1077694 писал(а):
Аргументом оператора $dF(A)$ (который я при желании могу обозначить через, скажем, $D$) является $B$.

Норму оператора вы оценили через норму той точки, в которой берете производную, но ведь эта точка на данный момент фиксирована, и такая оценка никак не противоречит линейности оператора.

Понял, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
smog4ik в сообщении #1077696 писал(а):
Но нет ли у меня тогда проблемы с тем, что я не могу оценить $\left\lVert \left(dF\left(A\right)\right)\left(B\right) \right\rVert$ через $M \left\lVert B \right\rVert$? Могу я все еще назвать $dF\left(A\right)$ ограниченным?

Вы уже получили такую оценку выше. По вашим вопросам видно, что вы не понимаете основ теории линейных операторов, советую вам повторить эти азы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск производной Фреше
Сообщение28.11.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10428
Hogtown
Brukvalub в сообщении #1077700 писал(а):
Вы уже получили такую оценку выше. По вашим вопросам видно, что вы не понимаете основ теории линейных операторов, советую вам повторить эти азы.

Или ещё проще: Вы же не говорите что $x^3$ недифференцируема потому что её производная неограниченна. Так же и там: производная : ограниченный линейный оператор $B\to dF(A)(B)$ в данной фиксированной точке (т.е. при данном фиксированном $A$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group