Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8

[toreto]

Здравствуйте! Есть вопрос по задаче из Фадеева-Соминского на тему "комплексные числа".

Выписать первообразные корни из $1$ степени: $2, 3, 4, 6, 8$

Я могу выписать например корни.

$\sqrt[n]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)$

$\sqrt[2]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{2}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{2}\right)=\pm 1$

$\sqrt[3]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{3}\right)$

$\sqrt[4]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{4}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{4}\right)$

....

Я могу все это представить в алгебраической форме, не проблема. Но как отобрать из них первообразные корни?

Что такое первообразные корни? Я это не очень понял как-то. В интернете понятного объяснения не нашел, там все кольца, поля, группы, а этого я не проходил. Можно ли как-то без этого найти первообразные корни?

-- 26.11.2015, 17:57 --

Но в википедии нашел, что $k$ должно быть взаимно просто с $n$, тогда будут первообразный корень.

Если корень второй степени, то оба корня первообразные

Если корень третьей степени, то все три корня первообразные

Если четвертой степени, то все кроме того, где $k=2$

Если пятой степени, то все

Если шестой степени, то все, кроме $k=2,3$. Верно ли?

-- 26.11.2015, 17:59 --

(Оффтоп)

Пока что не очень очевиден смысл первообразных корней? Зачем они?

[Otta]

А определение Вы знаете?

[Sinoid]

toreto в сообщении #1077024 писал(а):

Если корень второй степени, то оба корня первообразные

Неверно.

[Sonic86]

toreto в сообщении #1077024 писал(а):

Что такое первообразные корни? Я это не очень понял как-то. В интернете понятного объяснения не нашел, там все кольца, поля, группы, а этого я не проходил. Можно ли как-то без этого найти первообразные корни?

Все там есть: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 1%86%D1%8B
самое первое предложение
или, например, 4-е свойство

[toreto]

Спасибо, разобрался. Помогло 4 свойство. Первое предложение не помогло (потому как для этого нужно знать, что такое поле. Чтобы знать -- что такое поле -- нужно знать -- что такое алгебраическая структура, ассоциативность, Дистрибутивность, коммутативность итп)

[Sonic86]

toreto в сообщении #1077326 писал(а):

Первое предложение не помогло (потому как для этого нужно знать, что такое поле.

Неправда: не нужно.
Можно было выкинуть из текста подстроку "в поле $K$" или временно принять на веру, что $\mathbb{C}$ - это поле.
Первое определение более содержательно и допускает обобщения.

Вы всю жизнь работали в полях, группах, булевых решетках и ассоциативных кольцах, незачем их боятся.

[ИСН]

И говорили прозой.
Первообразные корни можно объяснить хоть ребёнку. Это те корни, которые впервые образовались. Ну, то есть, которых не было раньше. В смысле, среди меньших $n$.