2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение26.11.2015, 16:52 


22/11/15
101
Здравствуйте! Есть вопрос по задаче из Фадеева-Соминского на тему "комплексные числа".

Выписать первообразные корни из $1$ степени: $2, 3, 4, 6, 8$

Я могу выписать например корни.

$\sqrt[n]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{n}\right)$

$\sqrt[2]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{2}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{2}\right)=\pm 1$

$\sqrt[3]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{3}\right)$

$\sqrt[4]{1}=\cos \left(\dfrac{2\pi k}{4}\right)+i\sin \left(\dfrac{2\pi k}{4}\right)$

....

Я могу все это представить в алгебраической форме, не проблема. Но как отобрать из них первообразные корни?

Что такое первообразные корни? Я это не очень понял как-то. В интернете понятного объяснения не нашел, там все кольца, поля, группы, а этого я не проходил. Можно ли как-то без этого найти первообразные корни?

-- 26.11.2015, 17:57 --

Но в википедии нашел, что $k$ должно быть взаимно просто с $n$, тогда будут первообразный корень.

Если корень второй степени, то оба корня первообразные

Если корень третьей степени, то все три корня первообразные

Если четвертой степени, то все кроме того, где $k=2$

Если пятой степени, то все

Если шестой степени, то все, кроме $k=2,3$. Верно ли?

-- 26.11.2015, 17:59 --

(Оффтоп)

Пока что не очень очевиден смысл первообразных корней? Зачем они?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение26.11.2015, 17:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8508
А определение Вы знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение26.11.2015, 19:05 


03/06/12
2068
toreto в сообщении #1077024 писал(а):
Если корень второй степени, то оба корня первообразные

Неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение26.11.2015, 21:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
toreto в сообщении #1077024 писал(а):
Что такое первообразные корни? Я это не очень понял как-то. В интернете понятного объяснения не нашел, там все кольца, поля, группы, а этого я не проходил. Можно ли как-то без этого найти первообразные корни?

Все там есть: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 1%86%D1%8B
самое первое предложение
или, например, 4-е свойство

 Профиль  
                  
 
 Re: Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение27.11.2015, 14:44 


22/11/15
101
Спасибо, разобрался. Помогло 4 свойство. Первое предложение не помогло (потому как для этого нужно знать, что такое поле. Чтобы знать -- что такое поле -- нужно знать -- что такое алгебраическая структура, ассоциативность, Дистрибутивность, коммутативность итп)

 Профиль  
                  
 
 Re: Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение27.11.2015, 15:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
toreto в сообщении #1077326 писал(а):
Первое предложение не помогло (потому как для этого нужно знать, что такое поле.
Неправда: не нужно.
Можно было выкинуть из текста подстроку "в поле $K$" или временно принять на веру, что $\mathbb{C}$ - это поле.
Первое определение более содержательно и допускает обобщения.

Вы всю жизнь работали в полях, группах, булевых решетках и ассоциативных кольцах, незачем их боятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выписать первообразные корни из 1 степени: 2, 3, 4, 6, 8
Сообщение27.11.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
И говорили прозой.
Первообразные корни можно объяснить хоть ребёнку. Это те корни, которые впервые образовались. Ну, то есть, которых не было раньше. В смысле, среди меньших $n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group