Лин. непр. функционалы, не разделяющие точки

[Henrylee]

Верно ли, что если $X$ линейное топологическое пространство, не являющееся локально выпуклым, то существует пара различных точек $x,y$ в $X$, что для любого линейного непрерывного функционала $f$ выполняется $f(x)=f(y)$?

[Brukvalub]

Henrylee писал(а):

Верно ли, что если $X$ линейное топологическое пространство, не являющееся локально выпуклым, то существует пара различных точек $x,y$ в $X$, что для любого линейного непрерывного функционала $f$ выполняется $f(x)=f(y)$?

Думаю, что это неверно для не являющегося локально выпуклым пространства

\[ l^p \quad 0 < p < 1\]

(достаточно открыть Данфорда со Шварцем и посмотреть на строение его сопряжённого).

[Henrylee]

Brukvalub писал(а):

Думаю, что это неверно для не являющегося локально выпуклым пространства

\[ l^p \quad 0 < p < 1\]

Разве оно не ЛВП? Оно же метризуемо (хоть и не полно).

[AD]

Неа, при $p<1$ там нет неравенства треугольника.

Добавлено спустя 56 секунд:

Для простоты можно рассмотреть $L_p$ на двухточечном множестве (то есть обычную плоскость). Диск не будет выпуклым.

[Henrylee]

AD писал(а):

Неа, при $p<1$ там нет неравенства треугольника.

Мне это известно. Я имел в виду метрику пространства $R^\infty$
Оно не будет полным относительно этой метрики, но разве оно не будет локально выпуклым?

Добавлено спустя 31 минуту 43 секунды:

А, видимо имелась в виду "родная" топология $l^p$.

[Brukvalub]

Henrylee писал(а):

А, видимо имелась в виду "родная" топология $l^p$

Именно так.

[Henrylee]

Спасибо.