Рассеяние рентген. лучей на однородной частице

[Anna from Svetl]

Никак не могу сообразить, как правильно рассчитывать интенсивность рассеяния рентгеновский лучей на однородной частице, имеющей центр симметрии, например, эллипсоидальной или кубической. Я рассматриваю описание в Glatter, Kratky "Small-angle x-ray scattering". Там сказано, что можно вычислить амплитуду рассеянной волны по формуле

$$ F(\vec{h}) = \left(\Delta \rho\right)\int{\cos(\vec{h}\vec{r})dV}, $$

где $\vec{h}$ - вектор, направленный также, как и разность двух векторов: вектора, указывающего направление распространения исходной волны и вектора, указывающего направление распространения волны, рассеянной под углом $2\alpha$ к исходной, его модуль $h=4\pi/\lambda\,\sin\alpha$,
$\Delta\rho$ - разность плотностей рассеивающей частицы и окружающей ее однородной среды,
$\vec{r}$ - вектор, соединяющий некоторые две точки частицы,
интегрирование производится по объему частицы. При этом направление $\vec{h}$ фиксировано.
Далее говорится, что интенсивность можно рассчитать, возведя амплитуду в квадрат и усреднив результат по всем возможным направлениям вектора $\vec{h}$ с заданной длиной, тогда получим интенсивность, зависящую только от его модуля $h$ в виде $I(h)$.
Я не могу разобраться, как производить усреднение: нужно просто задать компоненты $\vec{h}$ в сферической системе координат

$$ \begin{array}{l} h_x = h\sin\theta\cos\varphi,\\ h_y = h\sin\theta\sin\varphi,\\ h_z = h\cos\theta, \end{array} $$

и проинтегрировать

$$ \dfrac{1}{2\pi^2}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi\int\limits_{0}^{\pi}{d\theta I(\vec{h})}} $$

или нужно интегрировать

$$ \dfrac{1}{4\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi\int\limits_{0}^{\pi}{\sin\theta d\theta I(\vec{h})}}. $$

[Munin]

Я пока ни обозначений не понимаю, ни задачи. Рентгеновские лучи - проникающие. Чтобы рассматривать их рассеяние, надо лезть в расположение атомов в частице, и недостаточно задать её форму. Кроме того, там скорее всего полезут квантовые свойства фотонов (потому что энергия рентгеновских лучей велика по сравнению с энергиями частиц в частице... тьфу, ну вы поняли, ядер и электронов). Так как ставится задача? Что такое $F(\vec{h})$?

[Anna from Svetl]

В учебнике рассматривается ситуация, когда рассеивающие электроны в частице можно считать свободными. Кроме того рассматривается исключительно классическая ситуация: каждый электрон под действием внешней волны начинает испускать дипольное излучение При этом, вместо того, чтобы рассматривать амплитуду рассеянной волны как сумму амплитуд от отдельных электронов с соответствующими фазами, мы вводим плотность распределения электронов в частице, $F(\vec{h})$ -это полная амплитуда, даваемая всей частицей.

[Munin]

Anna from Svetl в сообщении #1076677 писал(а):

При этом, вместо того, чтобы рассматривать амплитуду рассеянной волны как сумму амплитуд от отдельных электронов с соответствующими фазами, мы вводим плотность распределения электронов в частице

Не понял смысл вот этого "вместо". Рассеяние от отдельных электронов считается некогерентным, что ли? Тогда не получится считать амплитуду...

[Cos(x-pi/2)]

Мне не удалось получить текст Glatter, Kratky "Small-angle x-ray scattering", чтобы прочесть исходную формулировку вопроса. Поэтому пробую опираться только на то, что написала выше задавшая вопрос Anna from Svetl.

Сначала предположу, что положение рассеивающего объекта в пространстве фиксировано, и что формула $h=4\pi/\lambda\,\sin\alpha$ действительно важна в задаче. Тогда речь идёт об упругом рассеянии, и тогда имеем вот какую картину - задан волновой вектор $\vec{k}$ волны, падающей на рассеивающий объект, а волновой вектор $\vec{k'}$ рассеянной волны может оказаться любым с условием:

1) величина вектора $\vec{k'}$ равна величине вектора $\vec{k},$ то есть $k'=k=2\pi/\lambda.$
2) угол между $\vec{k'}$ и $\vec{k}$ считается фиксированным и равным $2\alpha.$ Именно при этих условиях величина вектора $\vec{h}=\vec{k'}-\vec{k}$ будет равна заданной величине $h=4\pi/\lambda\,\sin\alpha.$

А тогда у вектора $\vec{h}$ остаётся всего одна "степень свободы" - он может лишь поворачиваться на любой угол $\varphi$ вокруг заданного направления $\vec{k}.$ И если всё это верно, то слова усреднить результат по всем возможным направлениям вектора $\vec{h}$ могут означать усреднение по углу этого поворота.

Представляю себе это так: мы можем разложить вектор $\vec{h}$ в декартовой системе координат с осью $z$ вдоль заданного $\vec{k}$ и с осями $x,y$ в плоскости, перпендикулярной заданному $\vec{k}:$

$$h_z=-h \sin \alpha, \qquad h_x=h\cos \alpha \cos \varphi, \qquad h_y=h\cos \alpha \sin \varphi,$$

и проинтегрировать по углу $\varphi:$

$$ \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi \, I(\vec{h})} $$

Это лишь предположение (и если оно неверное, прошу меня извинить).

Возможна другая версия, в которой я тоже не уверен, но она, наверное, более правдоподобная: предположим, что положение рассеивающего объекта в пространстве не фиксированное, а случайное: объект может поворачиваться к источнику падающей волны разными своими боками.

Это равноценно фиксированному положению объекта при случайных направлениях волнового вектора падающей на объект волны $\vec{k}.$ В этом случае у вектора $\vec{h}$ есть уже 2 степени свободы, и усреднять я бы стал по формуле

$$ \dfrac{1}{4\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi\int\limits_{0}^{\pi}{\sin\theta \, d\theta \, I(\vec{h})}},$$

справедливой, если у вектора $\vec{h}$ все направления равновероятны.

[Anna from Svetl]

Munin в сообщении #1076701 писал(а):

Рассеяние от отдельных электронов считается некогерентным, что ли?

Наоборот, рассеяние как раз считается когерентным. Вот цитата из учебника по поводу электронной плотности:

Цитата:

It could be possible to obtain the resulting amplitude by summing up all secondary waves, represented by a term $\mathrm{e}^{-\vec{h}\vec{r}}$ each. But, considering the enormous number of electrons and the fact that a single electron cannot be exactly localized, it will be convenient to introduce the concept of electron density first. This may be defined as the number of electrons per unite volume ($\text{cm}^3$), and then be denoted by $\rho(\vec{r})$. A volume element $dV$ at position $\vec{r}$ will then contain $\rho(\vec{r})dV$ electrons. So summation can be replaced by integration over the whole volume $V$ irradiated by the incident beam:

$$ F(\vec{h}) = \int\int\int{dV\cdot \rho(\vec{r})\mathrm{e}^{-i\vec{h}\vec{r}}}. $$

Cos(x-pi/2) в сообщении #1076718 писал(а):

Возможна другая версия, в которой я тоже не уверен, но она, наверное, более правдоподобная: предположим, что положение рассеивающего объекта в пространстве не фиксированное, а случайное: объект может поворачиваться к источнику падающей волны разными своими боками.

Если я правильно понимаю то, что написано в учебнике, то именно это имеется в виду. Но я не понимаю, почему для усреднения берутся не просто углы $\varphi\in\left[0,2\pi\right]$ и $\theta\in\left[0,\pi\right]$, а телесный угол.

[Cos(x-pi/2)]

Anna from Svetl

Да, нашёл книгу Glatter, Kratky "Small-angle x-ray scattering" (ссылка нашлась в конце этой странички :) Там действительно подразумевается усреднение по телесному углу; это видно уже из того, что там упоминается очень легко проверяемая формула: среднее по направлениям вектора $\vec{h}$ или вектора $\vec{r}$ для выражения $\exp (i\vec{r}\cdot \vec{h})$ равно $\sin rh/rh.$

Anna from Svetl в сообщении #1076841 писал(а):

почему для усреднения берутся не просто углы $\varphi\in\left[0,2\pi\right]$ и $\theta\in\left[0,\pi\right]$, а телесный угол.

Это можно понять из вот какой картинки. Представьте себе поверхность сферы с радиусом $h,$ по которой "бегает" кончик вектора $\vec{h}$ (потому что направление этого вектора случайным образом изменяется; при этом начало вектора всё время находится в центре сферы). Тогда вероятность того, что кончик вектора окажется в каком-то конкретном участке поверхности с площадью $dS,$ пропорциональна площади этого участка; а именно, вероятность равна

$$\dfrac{dS}{S}$$

где $dS = h^2\, d\Omega,$ через $d\Omega$ обозначен телесный угол "под" участком поверхности сферы, $S=4\pi h^2$ есть вся площадь поверхности сферы.

Ну а дальше всё так, как Вы уже говорили: в сферической системе координат направление вектора $\vec{h}$ задается углами $\theta$ и $\varphi,$ а их малым изменениям $d\theta$ и $d\varphi$ соответствует элемент площади сферы

$$dS = h^2\, d\Omega = h^2 \, \sin \theta\, d\theta\, d\varphi$$

Следовательно, вероятность того, что углы вектора $\vec{h}$ примут значения $\theta$ и $\varphi$ в интервалах $d\theta$ и $d\varphi$ равна

$$\dfrac{dS}{S}=\dfrac{\sin \theta\, d\theta\, d\varphi}{4\pi}$$

Значит, это выражение и будет играть роль распределения вероятности для всяких функций $I(\theta, \varphi),$ которые могут встретиться в задачах со случайным (по направлению) вектором.

[Anna from Svetl]

Cos(x-pi/2), спасибо. Теперь все ясно.

(Оффтоп)

Обидно, что сама не додумалась.

[Cos(x-pi/2)]

Хорошо, что вопрос выяснился; и не переживайте: раз Вы ещё только учитесь, то у Вас ещё всё впереди - Вы ещё много до чего додумаетесь.

P.S. Поправил немножко пост: по поверхности сферы радиуса $h$ бегает конечно же $\vec{h},$ а не $\vec{r}.$

[Anna from Svetl]

Cos(x-pi/2), так в том-то и дело, что я уже вроде как отучилась, но в каких-то элементарных моментах безбожно туплю иногда.

[Cos(x-pi/2)]

Это тоже нормально; так, наверное, у всех бывает :) Хорошо, всего Вам доброго.

[Anna from Svetl]

Cos(x-pi/2), еще раз спасибо )