уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями

[Red_Herring]

Vince Diesel в сообщении #1076352 писал(а):

Ну да. Если я правильно понимаю, что $u_y$ — производная по нормали, то это просто вторая краевая задача. Решение однозначно определяется данными. И тут вдруг добавляется требование, чтобы в некоторой фиксированной точке тела температура все время была равна нулю. Физически это странно, хотя математически надо доказывать, что таких решений нет.

Если бы речь шла о точке внутри тела, в которой бы нарушалось уравнение теплопроводности, то всё было бы по делу, там бы стояла в правой части $\delta $с неизвестным зависящим от $t$ коэффициентом. На границе же должно соответственно нарушаться краевое условие, т.е. вместо граничной функции 0 должна быть $\delta$ (в этой точке) с неизвестным зависящим от $t$ коэффициентом.

[Vince Diesel]

Red_Herring в сообщении #1076355 писал(а):

Если бы речь шла о точке внутри тела, в которой бы нарушалось уравнение теплопроводности, то всё было бы по делу, там бы стояла в правой части $\delta $с неизвестным зависящим от $t$ коэффициентом. На границе же должно соответственно нарушаться краевое условие, т.е. вместо граничной функции 0 должна быть $\delta$ (в этой точке) с неизвестным зависящим от $t$ коэффициентом.

Я имел в виду точку внутри области, как у ТС и сказано.

[mas19]

Цитата:

Ну да. Если я правильно понимаю, что $u_y$ — производная по нормали, то это просто вторая краевая задача. Решение однозначно определяется данными. И тут вдруг добавляется требование, чтобы в некоторой фиксированной точке тела температура все время была равна нулю. Физически это странно, хотя математически надо доказывать, что таких решений нет.

Именно так! Вопрос в том, как это доказательство получить... и в каких областях эту задачу вообще можно решить аналитически. Получается, единственным инструметом является функция Грина?

[sup]

А нет ли здесь путаницы? Может быть речь идет о решении в области с выколотой точкой? Тогда можно говорить о соответствующем "краевом условии".

[Vince Diesel]

mas19 в сообщении #1076358 писал(а):

и в каких областях эту задачу вообще можно решить аналитически.

Какую задачу?

-- Вт ноя 24, 2015 20:46:53 --

sup в сообщении #1076360 писал(а):

А нет ли здесь путаницы? Может быть речь идет о решении в области с выколотой точкой? Тогда можно говорить о соответствующем "краевом условии".

В этой точке дополнительное условие равенства нулю решения. И, наверное, непрерывность в этой точке, иначе как это условие понимать.

[sup]

Понятно, что если это просто дополнительное условие, то ничего хорошего не светит. Но я просто подумал, может быть исходная задача предполагала именно область с выколотой точкой. И уравнение лишь в этой области. А ТС не вполне разобрался с условием. Будет там решение или нет - другой вопрос.

[Red_Herring]

sup в сообщении #1076360 писал(а):

А нет ли здесь путаницы? Может быть речь идет о решении в области с выколотой точкой? Тогда можно говорить о соответствующем "краевом условии".

Vince Diesel в сообщении #1076361 писал(а):

В этой точке дополнительное условие равенства нулю решения. И, наверное, непрерывность в этой точке, иначе как это условие понимать.

Вообще не выйдет: если решение в области с выколотой точкой, то в правой части м.б. только $c(t)\delta(x)\delta(y)$ но тогда решение будет чуть-чуть но не дотягивать до непрерывного.

[Vince Diesel]

mas19 в сообщении #1076350 писал(а):

Меня уверяли что они существуют

А может, вам надо стационарное решение? Для уравнения Лапласа решение второй КЗ определяется с точностью до константы, так что можно подогнать, чтобы в одной точке был ноль.

-- Вт ноя 24, 2015 21:03:29 --

Red_Herring в сообщении #1076366 писал(а):

Вообще не выйдет: если решение в области с выколотой точкой, то в правой части м.б. только $c(t)\delta(x)\delta(y)$ но тогда решение будет чуть-чуть но не дотягивать до непрерывного.

Для уравнения Лапласа есть теорема о стирании особенности, там достаточно, чтобы решение при приближении к точке росло медленнее, чем фундаментальное. Наверняка подобная теорема и для уравнения теплопроводности есть.

[mas19]

Задача в общем заключается в том , что есть некоторая ограниченная область, на границе которой задано второе краевое условие, также имеется фиксированная точка в этой области(может также иметь размерность ), в которой задано первое краевое условие.
В общем и целом, я хочу узнать плотность распределения вероятности когда частица первый раз достигнет эту фиксированную точку внутри области ( для этого мне необходимо знать $ u(x,y,t)$),добравшись до нее впервые она уже не выберется, именно поэтому условие $u(x_t,y_t,t)=0 $ имеет место быть, тогда как достигнув границы области она просто напросто отразится от оной, таким образом частица остается внутри области и будет искать точку $(x_t,y_t)$ далее.
В итоге, все упирается в поиск решения задачи наподобие той, что я поставил вначале. В случае интервала(одномерный случай) все понятно один конец -отражение,- другой поглощение. В случае с размерностями более одного, да еще и на ограниченных областях не очень...

[Red_Herring]

Vince Diesel в сообщении #1076368 писал(а):

Для уравнения Лапласа есть теорема о стирании особенности, там достаточно, чтобы решение при приближении к точке росло медленнее, чем фундаментальное. Наверняка подобная теорема и для уравнения теплопроводности есть.

Безусловно—и это убивает возможность такого решения.

Но для уравнений более высоких степеней могут возникать граничные условия на многообразиях более высокой коразмерности чем 1. Ну а для задачи с косой производной приходится либо добавлять условия, либо наоборот ослаблять их на подмногообразии где направление касательно к границе

[Munin]

Vince Diesel
Если фиксированная точка бегает по нижней полуплоскости, то всё окей :-)

[Vince Diesel]

Munin в сообщении #1076406 писал(а):

В общем и целом, я хочу узнать плотность распределения вероятности когда частица первый раз достигнет эту фиксированную точку внутри области ( для этого мне необходимо знать $ u(x,y,t)$),добравшись до нее впервые она уже не выберется, именно поэтому условие $u(x_t,y_t,t)=0 $ имеет место быть, тогда как достигнув границы области она просто напросто отразится от оной, таким образом частица остается внутри области и будет искать точку $(x_t,y_t)$ далее.

Ну так вот получается, что при размерности больше единицы вероятность попадания частицы в конкретную точку равна нулю. И из-за этого распределение не отличается от того исходного, в котором этого невидимого стока нет. Можно взять вместо точки круг, тогда уже будет функция Грина и все, что надо. Но если уменьшать радиус круга, то распределение все больше и больше будет похоже на исходное. Типа издалека маленький сток не виден (при ограниченном времени).

Munin в сообщении #1076406 писал(а):

Если фиксированная точка бегает по нижней полуплоскости, то всё окей

Не понял. Да и фиксированная точка бегает?

[Munin]

Та, которая $(x_t,y_t).$ Тут же координаты переменные.

[mas19]

Vince Diesel в сообщении #1076417 писал(а):

Ну так вот получается, что при размерности больше единицы вероятность попадания частицы в конкретную точку равна нулю. И из-за этого распределение не отличается от того исходного, в котором этого невидимого стока нет. Можно взять вместо точки круг, тогда уже будет функция Грина и все, что надо. Но если уменьшать радиус круга, то распределение все больше и больше будет похоже на исходное. Типа издалека маленький сток не виден (при ограниченном времени).

На самом деле, если взять неограниченную область в 2D ( и без условия $u_y(x,0,t)=0$) то можно найти решение задачи

$$u_{xx}+u_{yy}=u_t \quad x,y \in (-\infty, \infty)$$

$$u(x_0,y_0)=\delta(x-x_0,y-y_0) $$

$$u(x_t,y_t,t)=0 $$

где решение, по идее будет

$$u(x,y,t)=\frac{1}{2 \pi t}(\exp^{(-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2)/4t}-\exp^{(-(x-2x_t+x_0)^2-(y-2y_t+y_0)^2)/4t} )$$

А это дает не нулевую вероятность найти точку $(x_t,y_t)$.

Подскажите, очень прошу, как можно найти функцию Грина в случае не точки,а круга (для ограниченной только по одной оси)?

Правильно ли я понимаю, что везде где нарушается симметрия и присутствуют геометрии странного вида(поглощающий круг в квадрате, например) нельзя найти аналитическое решение, можно только аппроксимацию или действовать численными методами,

[Vince Diesel]

Для такой функции начальное условие не выполнено: $u(x,y,0)=2\delta(x,y)-2\delta(x-2x_t,y-2y_t)$.

mas19 в сообщении #1076426 писал(а):

равильно ли я понимаю, что везде где нарушается симметрия и присутствуют геометрии странного вида(поглощающий круг в квадрате, например) нельзя найти аналитическое решение, можно только аппроксимацию или действовать численными методами,

Скорее всего да. Ну, может, в каких-то случаях и есть в виде рядов.