Вновь случайное блуждание

[toreto]

Здравствуйте! У меня есть пару задач, с первой разобрался, вроде как (но не знаю -- правильно ли), а по второй мне кажется, что я неверно мыслю. Помогите, пожалуйста, разобраться!

1. Найти вероятность того, что симметричное случайное блуждание никогда не возвратится в ноль.

То есть требуется найти $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \mathbb{P}(S_2\ne 0, S_4\ne 0, S_{2n}\ne 0)$

$\mathbb{P}(S_n=x)=C_{n}^{\frac{n+x}{2}}p^{\frac{n+x}{2}}(1-p)^{n-\frac{n+x}{2}}$

Потому

$\mathbb{P}(S_n=0)=C_{n}^{\frac{n}{2}}0,5^{\frac{n}{2}}0,5^{\frac{n}{2}}$

$\mathbb{P}(S_n=0)=\dfrac{n!}{((n/2)!)^2}^{\frac{n}{2}}p^{\frac{n}{2}}(1-p)^{\frac{n}{2}}$

То есть нужно найти $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{n!}{((n/2)!)^2}0,5^n$

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{n!}{((n/2)!)^2}0,5^n=\lim_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{\left(\sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{2e}\right)^n\right)^2}0,5^n=\lim_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{2}{\pi n}}\cdot \dfrac{(2e)^n}{n^n}=0$

Верно ли это?

2. Пусть $\displaystyle(S_n;n\in \mathbb{N})$ -- симметричное блуждание на прямой. Используя принцип отражения, докажите, что:

$$\mathbb{P}\left(\max_{k\le n} S_k\ge N;S_n<N\right)=\mathbb{P}(S_n>N)$$

Найдите распределение случайной величины $\displaystyle M_n=\max_{k\le n} S_k$ и найдите асимптотику $\mathbb{E}M_n$ при $n\to\infty$

У меня тут только такая идея. Эта запись $\displaystyle\mathbb{P}\left(\max_{k\le n} S_k\ge N;S_n<N\right)$ означает вероятность того, что для любого $n\in \mathbb{N}$ существует $k<n$ такой, что $S_k>S_n$.

Правая часть $\mathbb{P}(S_n>N)$ означает вероятность того ,что существует такой $S_k$, который меньше, чем $S_n$.

Для меня это все значит, что мы наугад выбрали точку на прямой. Вероятность того, что $S_n$ будет больше $N$ равна вероятности того, что $S_n<N$. То есть вероятности по $0,5$. Верно ли я понимаю?

[toreto]

В первой задаче лучше было взять $k=2n$, потому как там везде подразумевалось, что $n$ -- четное.

[NSKuber]

toreto в сообщении #1076248 писал(а):

Эта запись $\displaystyle\mathbb{P}\left(\max_{k\le n} S_k\ge N;S_n<N\right)$ означает вероятность того, что для любого $n\in \mathbb{N}$ существует $k<n$ такой, что $S_k>S_n$.

Нет. $n$ и $N$ тут фиксированы. Запись означает вероятность того, что за $n$ шагов мы:
1) Хотя бы раз доберёмся до точки $N$
2) Остановимся левее неё.

toreto в сообщении #1076248 писал(а):

Правая часть $\mathbb{P}(S_n>N)$ означает вероятность того ,что существует такой $S_k$, который меньше, чем $S_n$.

Снова нет. Это - вероятность того, что через $n$ шагов мы окажемся правее точки $N$.

Попробуйте нарисовать график блуждания: по оси абсцисс - число шагов, по оси ординат - позиция. Посмотрите внимательно на графики блужданий, удовлетворяющих условию слева и удовлетворяющих условию справа, а затем на словосочетание "принцип отражения".