Про найденное "тождество"

[1kasper]

Я тут порешивал свои задачи и наткнулся на странное равенство.
Если $a + b = c$, то равенство $f(a) + f(b) = f(c)$ верно для любых функции $f(x)$.

И вот. Эта "теорема" верна? У меня пока с доказательством никак, я не пробовал.

[Sonic86]

Нет конечно.
Найти контрпример предоставляется Вам в качестве упражнения.

[Heart-Shaped Glasses]

Нет, не верна. Контрпример легко подбирается.

[1kasper]

Меня больше интересует как доказать не приводя контрпример.

[Sonic86]

Вы хотите доказать ложное соотношение?
Ну-ну.

[Heart-Shaped Glasses]

Sonic86, возможно ТС имеет ввиду "доказать, что указанное равенство неверно, не приводя контрпример".

[1kasper]

Sonic86 в сообщении #1076203 писал(а):

Вы хотите доказать ложное соотношение?
Ну-ну.

Эм... Если я правильно понял, то вы считаете, что я хочу доказать, что утверждение верно. Но я хочу доказать, что оно неверно.

[Sonic86]

1kasper в сообщении #1076205 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1076203 писал(а):

Вы хотите доказать ложное соотношение?
Ну-ну.

Эм... Если я правильно понял, то вы считаете, что я хочу доказать, что утверждение верно. Но я хочу доказать, что оно неверно.

Вы хотите доказать, что утверждение неверно не используя контрпримеры?
Тогда вопрос осмысленный, но не совсем - если утверждение ложно, то надо просто вывести из него явно ложное высказывание. Поиск контрпримера - лишь один способ, есть еще много вариантов. Например, доведение до абсурда. В данном случае легко видеть, что из Вашего утверждения следует то, что все функции линейны, что как известно и без контрпримеров, неверно. Вы можете сказать, что это нам неизвестно, но тогда вопрос становится совсем синтаксическим: даны только какие-то аксиомы и правила вывода, надо доказать, что утверждение ложно отталкиваясь только от аксиом. В принципе это все равно можно сделать - доведение до абсурда с аксиомами, например. Или любой другой путь. Т.е. если запретить только использование какого-то правила вывода, не запрещая использование всех эквивалентных ему правил, совсем бесполезно, не дает никакого эффекта.

[ET]

Sonic86 в сообщении #1076207 писал(а):

В данном случае легко видеть, что из Вашего утверждения следует то, что все функции линейны

Разве? доводилось слышать, что такое уравнение задает не только линейные. Даже слово есть для таких функций "аддитивные"

[Sonic86]

ET в сообщении #1076209 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1076207 писал(а):

В данном случае легко видеть, что из Вашего утверждения следует то, что все функции линейны

Разве? доводилось слышать, что такое уравнение задает не только линейные. Даже слово есть для таких функций "аддитивные"

ошибся: аддитивные
(хотя по большому счету из того, что все функции линейны, следует, что все функции аддитивны и наоборот)

[ET]

Sonic86 в сообщении #1076210 писал(а):

(хотя по большому счету из того, что все функции линейны, следует, что все функции аддитивны и наоборот)

Наоборот вряд ли. Там аддитивность и непрерывность=линейность, но бывают аддитивные ненепрерывные

[Sonic86]

(Оффтоп)

ET в сообщении #1076216 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1076210 писал(а):

(хотя по большому счету из того, что все функции линейны, следует, что все функции аддитивны и наоборот)

Наоборот вряд ли. Там аддитивность и непрерывность=линейность, но бывают аддитивные ненепрерывные

Доказывается легко и неинтересно и туда и наоборот, используется только матлогика.
Вы действительно хотите увидеть доказательство?

[grizzly]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1076221 писал(а):

Доказывается легко и неинтересно и туда и наоборот, используется только матлогика.

Может ещё отрицание аксиомы выбора нужно? (я не уверен). А то ведь ещё существуют аддитивные функции, имеющие всюду плотные в $\mathbb R^2$ графики (таковы все нелинейные).

[iifat]

1kasper в сообщении #1076205 писал(а):

я хочу доказать, что оно неверно

Сомневаюсь, что это возможно. Утверждение верно для некоторых функций, для других — неверно. Так понимаю, это означает, что тождественно ложного из него не выводится.

[provincialka]

Согласна с iifat. Утверждение имеет вид "Для всех $f$ из утверждения $P(a,b,c)$ следует утверждение $Q(a,b,c,f)$"
Что означает, что данное следствие неверно? Что существует функция $f$ такая, что при верном $P$ утверждение $Q(f)$ неверно. Самый простой путь доказательства -- предъявить такое $f$.