Решить в рациональных числах уравнение

[Rob123]

Решить в рациональных числах уравнение
$(a-1/a)^2=(b-1/b)(c-1/c)$. Очевидные решения при $(b-1/b)=(c-1/c) $. Как доказать, что других решений нет?

[Sonic86]

Есть другие (тривиальные) решения.

[scwec]

Здесь бесконечно много нетривиальных решений, например, при целых $a=4,9,10,14,15,16,17,20,...$
При каждом таком $a$ рациональных решений бесконечно много.
Приведу два решения: $a=4,b=\dfrac{1}{14},c=\dfrac{8}{13}$; $a=4,b=\dfrac{10244}{1631},c=\dfrac{2204}{825}$. Эта последовательность продолжается бесконечно.

[Rob123]

А какова формула данной последовательности? Дело в том, что данное уравнение появляется при решении в ЦЕЛЫХ числах системы двух уравнений:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &m^2 n^2 k^2=(xy)(zw);& \\ &(m^2-n^2 )^2 k^2=(x^2-y^2 )(w^2-z^2 )& \\ \end{array} \right. $
где пары $(x, y), (w, z), (m, n)$ взаимно просты и различной чётности.

[scwec]

Выводы о бесконечном числе нетривиальных рациональных решений исходного уравнения (из первого поста) и два приведенных решения получены с помощью работы с семейством эллиптических кривых, приведенных к форме Вейерштрасса. При этом использовались Maple и Pari/GP.
Промежуточные формулы не дают простой возможности получать целые решения для появившейся системы уравнений.
Тут всё зависит ещё от степени Ваших познаний в этом вопросе.
Возможно, найдется и другой, элементарный подход.