2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение22.11.2015, 11:31 
Решить в рациональных числах уравнение
$(a-1/a)^2=(b-1/b)(c-1/c)$. Очевидные решения при $(b-1/b)=(c-1/c) $. Как доказать, что других решений нет?

 
 
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение22.11.2015, 14:04 
Есть другие (тривиальные) решения.

 
 
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение23.11.2015, 22:59 
Здесь бесконечно много нетривиальных решений, например, при целых $a=4,9,10,14,15,16,17,20,...$
При каждом таком $a$ рациональных решений бесконечно много.
Приведу два решения: $a=4,b=\dfrac{1}{14},c=\dfrac{8}{13}$; $a=4,b=\dfrac{10244}{1631},c=\dfrac{2204}{825}$. Эта последовательность продолжается бесконечно.

 
 
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение24.11.2015, 00:31 
А какова формула данной последовательности? Дело в том, что данное уравнение появляется при решении в ЦЕЛЫХ числах системы двух уравнений:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &m^2 n^2 k^2=(xy)(zw);& \\
 &(m^2-n^2 )^2 k^2=(x^2-y^2 )(w^2-z^2 )& \\
\end{array}
\right. $
где пары $(x, y), (w, z), (m, n)$ взаимно просты и различной чётности.

 
 
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение24.11.2015, 16:37 
Выводы о бесконечном числе нетривиальных рациональных решений исходного уравнения (из первого поста) и два приведенных решения получены с помощью работы с семейством эллиптических кривых, приведенных к форме Вейерштрасса. При этом использовались Maple и Pari/GP.
Промежуточные формулы не дают простой возможности получать целые решения для появившейся системы уравнений.
Тут всё зависит ещё от степени Ваших познаний в этом вопросе.
Возможно, найдется и другой, элементарный подход.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group