Аналитическая геометрия

[TripleLucker]

Здравствуйте, возникла проблема с такой задачей, прошу помочь, пожалуйста:
Цилиндр задан своим сечением ${(x - 1)^2} + 2{(y - 1)^2} = 1$ с плоскостью $z=0$ и направлением $(a:b:c)$ прямолинейных образующих. При каком значении параметров $a,b,c$ поверхность ${x^2} + 3{y^2} + {(z - 1)^2} = 1$ (которая есть эллипсоид) и цилиндр имеют бесконечно много диаметральных плоскостей? Найти уравнение цилиндра для этих направлений.

Я так понимаю, что нужно выписать уравнение диаметральной плоскости для цилиндра и для эллипсоида по формуле $a\frac{{\partial F}}{{\partial x}} + b\frac{{\partial F}}{{\partial y}} + c\frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 0$. А затем выписать условие пропорциональности коэффициентов в этих уравнениях. Для эллипсоида выписать это не составляет проблем. А вот с цилиндром возникают сложности; я пытался вывести уравнение цилиндра (если такое вообще возможно) следующим образом: У нас есть направление образующих, можно записать уравнение в параметрическом виде: $x = {x_0} + at,y = {y_0} + bt,z = {z_0} + ct$ (${x_0},{y_0},{z_0}$ - точка на цилиндре). Так как у нас дана плоскость $z=0$, то подставляем это в третье параметрическое "уравнение", выражаем $t$, подставляем в первые два, а затем выраженные $x$ и $y$ подставляем в уравнение сечения. Но где-то тут скрыта неправда, потому что получается тогда, что диаметральная плоскость нулевая, а так не должно быть явно. Есть какой-то способ получить уравнение цилиндра с такими данными или в решении это вообще не потребуется использовать?

[sergey1]

http://scask.ru/book_agm.php?id=140

(Добавлено модератором Karan) Ссылка ведет на книгу Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука., 1968.

[TripleLucker]

sergey1 в сообщении #1075589 писал(а):

http://scask.ru/book_agm.php?id=140

Хорошо. Так я тоже пытался делать. Тогда у нас $2a(x-1)+4b(y-1) = 0$ для нашего цилиндра и для эллипсоида соответственно $2ax + 6ay + 2c(z-1) = 0$.
Тогда условие совпадения плоскостей $\frac{{2a}}{{2a}} = \frac{{4b}}{{6b}} = \frac{0}{{2c}} = \frac{{2a + 4b}}{{2c}}$ и это вообще ни к чему не приводит :/.

Хотя нужно, чтобы бесконечно много одинаковых плоскостей было, тут надо еще какое-то условие видимо? (имею в виду аналитически)

Да и условие совпадения плоскостей вообще какое-то бессмысленное на самом деле, поэтому, думаю, оно здесь вообще не нужно никаким образом.

[sergey1]

Посмотрите на эти теоремы геометрически и поймите что общего у интересующих Вас плоскостей

[TripleLucker]

sergey1 в сообщении #1075592 писал(а):

Посмотрите на эти теоремы геометрически и поймите что общего у интересующих Вас плоскостей

Центр цилиндра лежит в точке $(1,1,0)$. Значит, прямая центров $x = 1 + at, y = 1 + bt, z = ct$. А диаметральная плоскость должна содержать эту прямую и их будет бесконечно много с точностью до поворота вокруг этой кривой. У эллипсоида диаметральная плоскость должна проходить через центр $(0,0,1)$ и она должна быть сопряжена тому же направлению + их также должно быть бесконечно много. И она должна содержать прямую $x = at, y = bt, z = 1 + ct$. Тут я прав?

[sergey1]

да
Теперь поймите геометрически как должна располагаться эта прямая, чтобы при этих фиксированных $a, b, c$ нужных плоскостей было бесконечно много

[TripleLucker]

Параллельно первой?

[sergey1]

Вы установили, что общая диаметральная плоскость проходит через центр эллипсоида и ось цилиндра. А через точку и прямую можно провести единственную плоскость. Значит, задача не имеет решения!
В этом рассуждении все в порядке?

[TripleLucker]

sergey1 в сообщении #1075598 писал(а):

Вы установили, что общая диаметральная плоскость проходит через центр эллипсоида и ось цилиндра. А через точку и прямую можно провести единственную плоскость. Значит, задача не имеет решения!
В этом рассуждении все в порядке?

Все довольно логично, просто странно, что задача не имеет решения :/.

P.S. я пропустил в условии "общих диаметральных плоскостей".

[sergey1]

В том рассуждении есть ошибка, это утверждение верно не всегда. Задача имеет решение

Бывает так, что через точку и прямую проходит больше одной плоскости?

[TripleLucker]

sergey1 в сообщении #1075600 писал(а):

В том рассуждении есть ошибка, это утверждение верно не всегда. Задача имеет решение

Бывает так, что через точку и прямую проходит больше одной плоскости?

Если точка лежит на этой прямой.

[sergey1]

Верно, значит как проходит эта прямая и сколько ее точек нам известны?

[TripleLucker]

sergey1 в сообщении #1075602 писал(а):

Верно, значит как проходит эта прямая и сколько ее точек нам известны?

Известны две точки $(1,1,0)$ и $(0,0,1)$.

[sergey1]

И что осталось установить? Как быть с $a,b,c$?

[TripleLucker]

sergey1 в сообщении #1075607 писал(а):

И что осталось установить? Как быть с $a,b,c$?

Подставить в уравнение первой прямой точку (0,0,1) и выразить $a = - \frac{1}{t},b = - \frac{1}{t},c = \frac{1}{t}$